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新东方在线2011考研数学网络课堂电子教材系列线性代数

2011考研基础班线性代数

主讲：尤承业

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考研基础班线性代数讲义
第一讲基本概念
线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等

一．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.
线性方程组的解是一个n个数,,…,构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式.

对线性方程组讨论的主要问题两个:
(1)判断解的情况.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.
齐次线性方程组:的线性方程组.0,0,…,0总是齐次线性方程组的解,称为零解.
因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

二.矩阵和向量
1.基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
矩阵由数排列成的矩形表格,两边界以圆括号或方括号,m行n列的表格称为mn矩阵.这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.
是一个23矩阵.
对于上面的线性方程组,称矩阵
和

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为
,常数列为,则方程组为
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.

2.矩阵和向量的关系
书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.
问题:(3,-2,1)和是不是一样?
作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是13矩阵,右边是31矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.
一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.

3.n阶矩阵与几个特殊矩阵
nn的矩阵叫做n阶矩阵.
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)
下面列出几类常用的n阶矩阵:
对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.
单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.
下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.
对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.
问题:下列矩阵都是什么矩阵?
①②③
④⑤

对角矩阵:①、②、⑤
上三角矩阵:①、②、③、⑤
下三角矩阵:①、②、⑤
对称矩阵:①、②、④、⑤

三.线性运算和转置
1.线性运算
是矩阵和向量所共有的.
=1\*GB3①加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).

两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).

=2\*GB3②数乘:一个数c与一个mn的矩阵A可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作.法则为的每个元素乘c.

向量组的线性组合:设，…，是一组n维向量,,,…,是一组数,则称为，…，的(以,,…,为系数的线性组合.

例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合.

解:
2.转置
把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作.

四.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
1.初等变换
矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.
初等行变换:
=1\*GB3①交换两行的位置.
=2\*GB3②用一个非0的常数乘某一行的各元素.
=3\*GB3③把某一行的倍数加到另一行上.AB.

2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
=1\*GB3①如果它有零行,非零行,则都零行在下,非零行在上.
=2\*GB3②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.

问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?

一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.
问题:如果A是阶梯形矩阵.
(1)A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?
(2)A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?

3.简单阶梯形矩阵
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.
简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,