新东方在线考研数学基础班-线性代数讲义.doc

新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数
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新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材
线性代数部分

前言
1．复习线性代数应该着重于概念部分
线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。
另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。
为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样做。重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。
2．怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。
梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
沟通：突出各部分内容间的联系。
充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。
3．对大家学习的建议
学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。
（1）有预习，最好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。
（2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。
（3）最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。

第一讲基本知识

一．线性方程组的基本概念

与不一定相等。
两个研究目标：
（1）讨论解的情况
（）
唯一解，无穷多解，无解
（2）求解，无穷多解时求通解。
齐次线性方程组：。
零解（）。
唯一解：即只有零解。
无穷多解：有非零解。

二．矩阵和向量

1．什么是矩阵和向量

系数矩阵
增广矩阵
，

2．线性运算与转置

①加（减）法②数乘

①
②
③
④
⑤或。
向量组的线性组合
，
。
转置
的转置（或）

，

。

3．阶矩阵

行、列的矩阵。
对角线，其上元素的行标、列标相等
对角矩阵
数量矩阵
单位矩阵
上（下）三角矩阵
对称矩阵。
反对称矩阵。

三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵

初等变换分
三类初等行变换
①交换两行的上下位置

②用非零常数乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）
阶梯形矩阵

①如果有零行，则都在下面。
②各非零行的第一个非元素的列号自上而下严格单调上升。
或各行左边连续出现的的个数自上而下严格单调上升，直到全为。
台角：各非零行第一个非元素所在位置。
简单阶梯形矩阵：

3．台角位置的元素都为1

4．台角正上方的元素都为0。

每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。
如果是一个阶矩阵
是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定，如
是上三角，但非阶梯形

四．线性方程组的矩阵消元法
用同解变换化简方程再求解
三种同解变换：
①交换两个方程的上下位置。
②用一个非数乘某一个方程。
③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。

，，，。
矩阵消元法：
①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。
②用判别解的情况。
i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。
ii）如果有解，记是的非零行数，则
时唯一解。
时无穷多解。
iii）唯一解求解的方法（初等变换法）
去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则都不为。
于是把化出的简单阶梯形矩阵应为
其方程为即就是解。

第二讲行列式

一．形式与意义

A是阶矩阵，表示相应的行列式。

二．定义（完全展开式）

一个阶行列式的值：
①是项的代数和
②每一项是个元素的乘积，它们共有项

其中是的一个全排列。
③前面乘的应为

的逆序数

，

例1．
例2．

例3．
求中的和的系数

三．计算（化零降阶法）

余子式和代数余子式

称为的余子式。

定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

命题：第三类初等变换保持行列式的值

化零降阶法
例4．求行列式的第四行各元素的余子式之和。

四．行列式的其它性质
1．转置值不变
2．用一个数乘某一行（列）的各元素值乘

3．行列式和求某一行（列）分解

，3阶矩阵

4．第一类初等变换使值变号
5．如果一个行列式某一行（列）的元素全为或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为。
6．一行（列）的元素乘