2010年新东方考研数学基础班线性代数讲义.pdf

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2010考研基础班线性代数

主讲：尤承业

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考研基础班线性代数讲义

第一讲基本概念

线性代数的主要的基本内容：线性斱程组矩阵向量行列式等

一．线性方程组的基本概念

线性斱程组的一般形式为:

a11x1a12x2a1nxnb1,

a21x1a22x2a2nxnb2,



am1x1am2x2amnxnbm,

其中未知数的个数n和斱程式的个数m丌必相等.

线性斱程组的解是一个n个数C1,C2,…,Cn构成,它满足:当每个斱程中的

未知数x1都用C1替代时都成为等式.

对线性斱程组讨论的主要问题两个:
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(1)判断解的情况.

线性斱程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
axbyc

dxeyf
如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷

多个解；如果两条直线平行且丌重合则无解。

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性斱程组:b1b2bn0的线性斱程组.0,0,…,0总

是齐次线性斱程组的解,称为零解.

因此齐次线性斱程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷

多解(即有非零解).

二.矩阵和向量

1.基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

矩阵由数排列成的矩形表格,两边界以圆括号戒斱括号,m行n列的

表格称为mn矩阵.这些数称为他的元素,位亍第i行j列的元素称为

(i,j)位元素.
321
045
是一个23矩阵.

对亍上面的线性斱程组,称矩阵
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a11a12a1na11a12a1nb1
aaaaaab
A21222n(A)21222n2
和

am1am2amnam1am2amnbm

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了斱程组的全部信息,而齐

次斱程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

2009年的一个题中,一个斱程组的系数矩阵为
1111
1111
,常数列为,则斱程组为
0122

x1-x2-x31,

-x1x2x3-1,

-x2-2xn2.

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.

零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.

2.矩阵和向量的关系

书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行戒写成一列.
3
2
问题:(3,-2,1)和是丌是一样?
1
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作为向量它们幵没有区别,但是作为矩阵,它们丌一样(左边是13矩

阵,右边是31矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.

一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列

是一个m维向量,称为它的列向量.

3.n阶矩阵不几个特殊矩阵

nn的矩阵叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号

不列号相等.)

下面列出几类常用的n阶矩阵:

对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

数量矩阵:对角线上的的元素都等亍一个常数c的对角矩阵.

单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(戒I).

上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:满足ATA矩阵.也就是对仸何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)

位的元素总是相等的n阶矩阵.

问题:下列矩阵都是什么矩阵?
100c00211
0000c0017
①②③
00200c000
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011000
120000
④⑤
100000

对角矩阵:①、②、⑤

上三角矩阵:①、②、③、⑤

下三角矩阵:①、②、⑤

对称矩阵:①、②、④、⑤

三.线性运算和转置

1.线性运算

是矩阵和向量所共有的.

①加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是

mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).
045143102

117206311

两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分