提高班数学微积分讲义.pdf

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第11章函数的极限与连续
11.1函数
一函数
1定义设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数xÎD，变量y按照一定
的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，数集D叫做这
个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。
2表示法
3基本初等函数

ì1x>0
ìxx³0ï
例11．1．1（1）y=C；（2）y=x=í；（3）y=í0x=0。
î-xx<0ï
î-1x<0
例11.1.2下列函数是否相同？
（1）f(x)=lgx2g(x)=2lgx；答否
（2）f(x)=3x4-x3,g(x)=x3x-1；答是
（3）f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1。答否
例11.1.3求函数的定义域。
1
（1）y=；答x<0
x-x
11
(2)求y=的定义域。答(2,+¥)
1+lg(x-2)10
二特性
1函数的有界性
设函数f(x)在区间I上有定义，如果$M>0，使得对"xÎI，有f(x)£M，则称f(x)
在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上无界。
2函数的单调性

设函数f(x)在区间I上有定义,如果"x1,x2ÎI且x1<x2时，有f(x1)£f(x2)（或

1

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f(x1)³f(x2)）则称f(x)在区间I上是单调增（或单调减）的。
3函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域X关于原点对称，（即若xÎX，则必有-xÎX），如果"xÎX，
有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数，如果"xÎX，有f(-x)=-f(x)成立，则
称f(x)为奇函数。
4函数的周期性
设函数f(x)的定义域是X，如果$常数T¹0，使得对"xÎX，有x±TÎX，且
f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，使上式成立的最小正数T称为f(x)
的周期。
例11.1.4判断函数的奇偶性。
ax+a-x
（1）y=；（2）y=(1-x2)ln(x+1+x2)；（3）y=2x3-x2。
2
答（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶
三函数的运算
1四则运算
2反函数
3复合函数与初等函数
（1）复合函数

设y=f(u)，定义域为Du；u=j(x)，定义域为Dx，值域为Wu，当WuÍDu时，称
y=f[j(x)]为x的复合函数，它是由y=f(u)和u=j(x)复合而成的函数，它的定义域

为Dx，称u为中间变量。
（2）初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称
为初等函数。
ìxx<0
例11．1．6设，，求。
f(x)=x+xg(x)=í2f(g(x)),g(f(x))
îxx³0
例11．1．7设函数f(x)的定义域是(-¥,+¥)，且f(x)的图形关于直线x=a与x=b对
称，(a<b)，证明f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数。
四补充题
例11．1．8
1
1f(x)在(-¥,+¥)上有定义，且f(x+k)=，则f(x)是[]（其中k为大于零的
f(x)
常数）
(A)周期函数(B)单调函数(C)奇函数(D)偶函数
2设f(x)=ex，且f(j(x))=1-x，则函数j(x)的定义域为[(A)]
(A)(-¥,1)(B)(-¥,0)(C)(0,+¥)(D)(-¥,+¥)
3下列函数中关于y轴对称的是[(B)]
(A)y=x2+2x+1(B)y=xln(x+1+x2)
(C)y=2x-2-x(D)y=2xe-x
4设函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数
g(x)=1-x×f(sinpx)+1+x×f(1+cospx)的定义域是[(D)]
(A)x£1(B)0£x£1(C)x£0.5(D)0.5£x£1
11.2数列的极限

1定义给定数列{xn}，如果当n无限增大时，其通项xn无限趋近于某个常数A，则称数列

2

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{xn}以A为极限，记作limxn=A或者xn®A(n®¥)。
n®¥

2单调性设数列{xn}，如果对于"n，有xn£xn+1（xn³xn+1），则称数列{xn}是单调
递增（单调递减）的。

3如果$M>0，对于"n有xn£M，则称数列{xn}是有界的。
4数列极限的性质

（1）若数列{xn}是收敛的，则它的极限是唯一的。

（2）数列{xn}是收敛的，则称数列{xn}是有界的。
5数列极限的四则运算

设limxn=A，limyn=B
n®¥n®¥

（1）lim(xn±yn)=A±B
n®¥

（2）limxnyn=AB
n®¥
xA
（3）limn=(B¹0)
n®¥
ynB
11.3函数的