数学-微积分讲义.doc

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GCT数学.微积分部分
第11章函数的极限与连续
11.1函数
一函数
1定义设和是两个变量，是给定的数集，如果对于每个数，变量按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。
2表示法
3基本初等函数

例11．1．1（1）；（2）；（3）。
（4）设是任一实数，表示不超过的最大整数部分。
例11.1.2下列函数是否相同？
（1）；（否）
（2）；（是）
（3）。（否）

例11.1.3求函数的定义域。
（1）；答
（2）设，求的定义域.

二特性
1函数的有界性
设函数在区间上有定义，如果，使得对，有，则称在区间上有界，否则，称在区间上无界。
2函数的单调性
设函数在区间上有定义,如果且时，有（或
）则称在区间上是单调增（或单调减）的。
3函数的奇偶性
设函数的定义域关于原点对称，（即若，则必有），如果，有成立，则称为偶函数，如果，有成立，则称为奇函数。
4函数的周期性
设函数的定义域是，如果常数，使得对，有，且
恒成立，则称函数是周期函数，使上式成立的最小正数称为的周期。
例11.1.4判断函数的奇偶性。
（1）；（2）；（3）。
[（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶]

三函数的运算
1四则运算
2反函数
3复合函数与初等函数
（1）复合函数
设，定义域为；，定义域为，值域为，当时，称
为的复合函数，它是由和复合而成的函数，它的定义域为，称为中间变量。
（2）初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。
例11．1．5（1）设，，求。
（，）

（2）求的反函数。（）
例11．1．6设函数的定义域是，且的图形关于直线与对称，，证明是以为周期的周期函数。

四补充题
例11．1．7
1在上有定义，且，则是[]（其中为大于零的常数）
周期函数单调函数奇函数偶函数
2设，且，则函数的定义域为[]

3下列函数中关于轴对称的是[]

4设函数的定义域是，则函数
的定义域是[]

5（08）设则有[]。
（A）（B）
（C）（D）
答（B）。
分析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。
解法1：由易知，当时，。
又所以。
故正确选项为（B）．
解法2：利用特殊值代入法与排除法更简单．取，则，这时选项（A）,（C）,（Ｄ）都不成立。
故正确选项为（B）．

11.2数列的极限
1定义给定数列，如果当无限增大时，其通项无限趋近于某个常数，则称数列以为极限，记作或者。
单调性设数列，如果对于，有（），则称数列是单调递增（单调递减）的。
3如果，对于有，则称数列是有界的。
4数列极限的性质
（1）若数列是收敛的，则它的极限是唯一的。
（2）数列是收敛的，则称数列是有界的。
5数列极限的四则运算
设，
（1）
（2）
（3）

函数的极限
1函数极限的定义
（1）设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。
（2）设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。
（3）设函数在区间上有定义，为常数，如果当无限增大时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。
（4）定理的充分必要条件是且。
（5）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数以为极限，记作。
（6）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数的左极限为，记作。
（7）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数的右极限为，记作。
（8）定理的充分必要条件是且。
（9）设，
=1\*roman（i）若，则极限点附近有。
=2\*roman（ii）极限点附近有，则。

2函数极限的性质
（1）如果存在，则极限值是唯一的。
（2）如果，则在极限点附近是有界的。

3函数极限的运算法则
（1）四则运算
（2）复合函数的运算法则
设复合函数在的某邻域内（可除外）有定义，如果
（）且，则。
4重要极限
*（1）
（2）或
例11.3.1设，讨论是否存在。（不存在）
例11.3.2设，求。（7）
例11．3．3
例11．3．4
例11．3．5，，
例11．3．6
（1）（1）
（2）（）
（3）（）
（4）（1）
（5）（1）
（6）（）
（7）（）

11.4无穷大量与无穷小量
一1定义（1）如果函数当（或）时的极限为零，则称函数当（或）时为无穷小量。
（2）如果函数当（或）时无限变大，则称函数当
（或）时为无穷大量。记作.
2无穷大量与无穷小量的关系
在自变量的同一变化过程中，如果函数为无穷大量，则为无穷小量，反之，如果函数为无穷小量且，