2009年考研数学冲刺班线性代数讲义.pdf

线性代数

一、行列式与矩阵

重要公式

(1)AA∗=A∗A=|A|E,且A可逆时有:

1A
AAA=||(*)−1,A−1=A*,AAA*=||−1,()A*−1=.
|A||A|

1
(2)|AAT|=||,|A−1|=,|AA*|=||n−1,
|A|

2
kA=knA,AB=AB=BA,|(AA∗)∗|=||n−2n+1.

(3)AB,分别为m阶和n阶方阵,则

A0ACA0
===|AB|||,
0B0BDB

0BCB0B
===(−1)mn|AB|||.
A0A0AD

(4)()ABTTT=BA,()AB−1=B−1A−1,()AB***=BA;

()ABAB±TTT=±,但()ABAB±−1≠−1±−1,()ABAB±***≠±;

()()AAT−1=−1T,()()AAT**=T,()()AA−1*=*−1.

为的个特征值
(5)|A|=λ1λ2Lλn,λ1,λ2,L,λnAn.

(6)A相似于B⇒|AB|=||

(7)若A可逆,则r()()()AB=rBA=rB

(8)r(AB)≤min{}r(A),r(B),r()()()A±B≤rA+rB.

1
⎧n,(),rA=n
*⎪
r()A=⎨1,r(A)=n−1,
⎪
⎩0,r(A)<n−1.
(9)初等矩阵,初等变换的性质

【例1】设AB,为n阶方阵,且AAT=E,BBT=E,且|AB|=−||,试求|AB+|.

【例2】已知α1,,,α2α3α4为3维列向量,矩阵A=(α1,α2,2α3−α4+α2).B=(,,)α3α2α1,

C=(α1+2α2,2α2+3α4,α4+3α1),若|B|=−5,|C|=40,则|A|=______.

【例3】设A为m×n矩阵,B为n×n矩阵,C为n×m矩阵,且AB=A,BC=0,

r()A=n,则|CA−B|=_______.

2

【例4】设AB,为n阶方阵,且A可对角化(或实对称),AA2+=0,B2+B=E,r(AB)=2.

试求行列式|2AE+3|.

【例5】设α为实3维非零列向量,矩阵A=ααT,且αTα=4,计算行列式

|AAAE3−22+3+2|.

【例6】求An.

⎡11⎤
1
⎡101⎤⎢23⎥⎡313⎤
⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
(1)A=010(2)A=⎢21⎥(3)A=120
⎢⎥⎢3⎥⎢⎥
⎣⎢001⎦⎥3⎣⎢102⎦⎥
⎢31⎥
⎣⎢2⎦⎥

(4)AE=+αTβ,其中α=(1,−1,2),β=(−1,1,1).

3

【例7】设A为7阶方阵,且A2=0,则A的伴随阵A*的秩为______.

二、向量与线性方程组-

【例8】设α1,,α2α3为三维列向量,A为3阶方阵,且Aα1=α1,Aα2=α1+α2,

Aα3=α2+α3,α1≠0.

(1)证明α1,,α2α3线性无关;

(2)求A的特征值,特征向量;

(3)计算行列式|2007AE+|.

4
【例9】设向量组α1,,α2α3线性无关,已知β1=(k−1)α1+α2+α3,β2=α1+(k+1)α2+α3,

β3=−α1−(1+k)α2+(1−k)α3,试求向量组β1,,β2β3的秩r(β1,β2,β3).

【例10】设A,B均为m×n矩阵,则齐次方程组Ax=0与Bx=0同解是A,B的列向量组等价的
(A)充要条件.(B)充分而非必要条件.
(C)必要而非充分条件.(D)既非充分也非必要条件.【】

5

【例11,2005(三),(四)13分】已知齐次线性方程组

⎧x1+2x2+3x3=0
⎪⎧x1+bx2+cx3=0
和同解求的值
(I)⎨2x1+3x2+5x3=0(II)⎨2,a,,bc.
⎪⎩2x1+bx2+(c+1)x3=0
⎩x1+x2+ax3=0
【标准答案】方程组(II)的未知量的个数大于方程的个数,故方程组(II)有无穷多个解.因为方程组(I)
与(II)同解,所以方程组(I)的系数矩阵的秩小于3.
⎛123⎞⎛101⎞
⎜⎟⎜⎟
对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换⎜235⎟→⎜011⎟,从而a=2.
⎜⎟⎜⎟
⎝11a⎠⎝00a−2⎠
⎛123⎞⎛101⎞
⎜⎟⎜⎟
此时,方程组(I)的系数矩阵化为⎜235⎟→⎜011⎟,
⎜⎟⎜⎟
⎝112⎠⎝000⎠

故(−1,−1,1)T是方程组(I)的一个基础解系.

将x1=