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www.xueyes.com2013考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐

线性代数考前练习

1.已知α1,α2,α3,β1,β2均为4维列向量，矩阵A=（α1,α2,α3,β1），B=（α2,α1,α3,β2），若行列式|A|=1，|B|=2，则
|A－2B|=.

0001

*0010
2.已知矩阵A的伴随矩阵A=，则矩阵A=.
2000

8400

1
00
3
111
13
3.已知A=00，B=222，矩阵X满足AXA－ABA=XA－AB，则X=.

2
1333
00
3

TT
4.已知矩阵A=2βαT7E，其中α1,11,2，β0,2,13，E是3阶单位矩阵，则矩阵A最

小特征值的特征向量是.

T22
5.二次型xAx=x13x32x1x24x1x32x2x3的正惯性指数p=.

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1001
0110
6.设A=，则齐次线性方程组Anx=0的通解是.
0110

1001

123
7.设A=012且秩r(A)=2，A*是A的伴随矩阵，则齐次方程组A*x=0的通解是.


1a4a

111x11

21a3x4
8.已知方程组2=，那么a=3，b=－1是此方程组有无穷多解的

1a21x3b
(A)充分但非必要条件(B)充分必要条件
(C)必要但非充分条件(D)既不充分也不必要条件［］

TT
9.已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解，秩r（A）=3，若α1+α2=(1,2,3,4)，α2+2α3=(2,3,4,5)，
则方程组Ax=b的通解

11211101

201321012
(A)+k(B)+k(C)+k(D)+k
313401120

42511231

［］

10.n维向量α1,α2,α3,β1,β2，其中α1,α2,α3线性无关，β1可由α1,α2,α3线性表出，β2不能由α1,α2,α3线性表出.

(1)α1,α2,α3,β1,β2必线性相关.(2)α1,α2,α3,β1,β2必线性无关.

(3)α1,α2,α3,β1－β2必线性相关.(4)α1,α2,α3,β1－β2必线性无关.
上述命题中，正确的是
(A)(1)(3)(B)(2)(4)(C)(1)(4)(D)(2)(3)［］

120
已知满足关系式2，若，则秩
11.AB,A2ABEB03arAB2BA3A=

005
(A)1(B)2(C)3(D)与a有关不确定.［］

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12.已知A是mn矩阵，秩rAn，α1,,,α2αs是n维列向量.

证明:α1,,,α2αs线性无关的充分必要条件是Aα1,,,Aα2Aαs线性无关.

13.设A是m×n矩阵，η1,η2,…,ηt是齐次方程组Ax=0的基础解系，α是非齐次线性方程组Ax=b的一个解.

(Ⅰ)证明：α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性无关.

(Ⅱ)证明方程组Ax=b的任一个解必可由α,α+η1,…,α+ηt线性表出.

14.已知A是3阶矩阵，α1是矩阵A属于特征值1的特征向量，α2是齐次方程组Ax0的解，向量α3满

足Aα3α1α2α3.

（Ⅰ）证明α1，α2，α3线性无关.

（Ⅱ）求矩阵A所有的特征值和特征向量.
（Ⅲ）判断A是否和对角矩阵相似，并说明理由.

111
1a1
15.已知矩阵A=只有2个线性无关的特征向量.求矩阵A的特征值与特征向量.

313

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已知－T是二次型T222－－矩阵的特征向量试用正交变换化二次型
16.α=(1,k,2)xAx=ax1+ax2+kx32x1x32x2x3A.
为标准形，并写出所用坐标变换.

110

17.已知A是秩为2