殷明数学考研冲刺班(线性代数)讲义.pdf

合工大（共创）线性代数冲刺殷明1

合工大（共创）考研辅导中心

2009冲刺班（线代代数部分）讲义

一、现阶段数学复习策略

1归纳整理，查漏补缺,注意自己总结复习；2实战演练，做真题及模拟题（真实环境），
提高解题速度，找出差错。3积极备考,注意身体及心态；

二、线性代数复习概论
线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系
是线性代数课程的特点。技巧少，方法比较固定。
1、吃透概念，掌握性质
线性代数的概念很多，重要的有：
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、
向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极
大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对
角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
2正确熟练运用基本方法及基本运算
基本运算与基本方法要过关，重要的有：
行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极
大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求（非）齐次线性方程组的通解，
求特征值与特征向量(定义法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩
阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
3．注重知识点的转换与联系
线性代数各章节的内容，如行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不
是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如
A是n阶方阵，若，｜A｜≠0(称A为非奇阵)．<=>A是可逆阵．<=>有n阶方阵B，使得
AB=BA=E．<=>B=A-1＝A*／｜A｜．<=>r(A)=n(称A是满秩阵)．<=>存在若干个初等阵
P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E．<=>(A┆┆E)→(EA-1)．<=>A可表示成若干个
可逆阵的乘积．<=>A可表示成若干个初等阵的积。<=>A的列向量组线性无关(列满
秩)．<=>AX=0，唯一零解．<=>A的行向量组线性无关(行满秩)．<=>A的列(行)向量组是
Rn空间的基．<=>任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一)．<=>对任
意的列向量b，方程组AX＝b有唯一解，且唯一解为A-1b<=>A没有零特征值，即λi≠O，i
＝1，2，…，n．<=A是正定阵(正交阵)等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，
故对考生而言，应该认真总结，开拓思路

三、线性代数复习重点

大家知道，线性代数前后知识的联系非常紧密，所以我们在这一部分复习的时候，一定
要抓住我们线性代数的前后联系的这样一些关键点，把知识连贯起来，我们就会发现，掌
握起来是比较容易的。整个线性代数，我个人认为，可以分成三大块内容。第一部分，行
列式和矩阵，是我们线性代数的基础部分，基础部分一般来讲不考大题。以这个为基础，

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另外两部分，一部分是向量和线性方程组，一般情况下每年在这个部分考一个大题，还有
特征向量与二次型，其次特别是二次型，也可以看作同一件事情的两个不同方面。

第一部分，行列式和矩阵(基础部分,一般考小题)

行列式这部分没有太多内容，主要就是行列式的意义、性质及计算。重点在于行列式的展
开方法。这个问题就是重要的公式。一个矩阵A乘上A的伴随矩阵等于A的行列式乘以单
位阵。
矩阵是一个基础，关联到整个线代，所以矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算。
因为大家习惯了数的运算，在做矩阵运算的时候容易受到数的影响，所以这个地方大家要把
它搞清楚。矩阵运算里一个很重要的就是初等变换。我们在解方程组，求特征向量都离不开
的东西。这是我们矩阵部分的重点。
重要题型：
1计算行列式
2矩阵运算（逆矩阵计算与证明）
3求矩阵的秩

例1设α12,,,ααn是n维列向量，又A=(α12ααn)，B=(ααnn11α−)，

如A=3，则AB+=____；

解因为
⎛⎞1100
⎜⎟
⎜⎟0110

AB+=()αα121+nnαα+αα+n−112=(αααn)⎜⎟0010，
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠1001
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又11=+−1(1)n+1，所以AB+=3(1+−(1)n+1)

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例2.已知A,B均为3阶不可逆矩阵，且满足AB+5B=0，若rB()=2，则行列式
|AE+=|____

解：设B=()β123ββ，由(5AEB+)=0知，λ=−5是矩阵A的特征值，且β123,,ββ
是关于特征值-5的特征向量。由rB()=2，所以λ=−5至少有2个线性无关的特征向量。
所以λ=−5至少是二重特征值。又因矩阵A不可逆，λ=0必是矩阵A的特征值。从而A
的特征值是-5