高数+线代简易讲义.doc

第四部分微积分
第1章函数的极限与连续
[基础知识点]
3.复合函数和初等函数
例1设，求的定义域。
例2已知求。
二、数列的极限
1．定义
2．数列极限的性质
极限唯一性；收敛数列有界性（收敛的必要条件）；收敛数列保号性；迫敛性；绝对值收敛。
3．数列极限的四则运算法则
4．数列极限存在的准则
单调有界定理；夹逼准则。
三、函数的极限
1．函数极限的定义
2．函数极限的性质
唯一性；局部有界性；保号性；迫敛性；四则运算法则。
3．两个重要极限
（1）或（2）
例1

例2
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
四、无穷小量与无穷大量
1．定义及性质
2．无穷小量与无穷大量的关系
3．无穷小量与函数极限的关系
4．无穷小量与有界量之积为无穷小量
5.无穷小量的比较
6．等价无穷小量替换定理
常用的等价无穷小：当时，，，，，，，，
例1（1）（2）（3）（4）
五、函数的连续性
1．定义
2．间断点及分类
分成两类如果是函数的间断点但左极限及右极限都存在那么称为函数的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点。在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点
3．连续函数的运算法则
4．闭区间上连续函数的性质
有界性定理；最值存在定理；介值定理；零点存在定理。
例1求间断点及判断其类型
（1）（2）
例2设在处连续，求。
[历年真题]
1.，=5，=3，=，该三角形边上的中线长是的函数，则当在中变化时，函数取值的范围是（）.（2004.15）
（0，5）（1，4）（3，4）（2，5）
2.设函数的定义域是，则函数的定义域是（）.（2005.16）

3.设，且导数存在，则＝（）.（2006.16）
0
4.若，则必有（）.（2007.16）
在处无定义
在的某领域中， 在的某领域中，

第2章一元函数微分学
[基础知识点]
一、导数的概念
1．导数的定义
2．导数的几何意义
函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率即其中是切线的倾角。
3．可导性和连续性的关系
如果函数在点可导，则函数在该点连续，反之不成立。
例1在可导，求下列极限
（1）
（2）
（3）
例2设在处连续，且，求。
例3设函数
为了使函数在处连续且可导，、应取什么值？
例4
（1）可导偶函数的导数是奇函数；
（2）可导奇函数的导数是偶函数；
（3）可导周期函数的导数是周期函数。
例5如果为偶函数，且存在，证明。
二、导数公式与求导法则
1．导数公式
（1）(C)0（C为常数），（2）(x)x1（3）(sinx)cosx（4）(cosx)sinx
（5）(tanx)sec2x（6）(cotx)csc2x（7）(secx)secxtanx（8）(cscx)cscxcotx
（9）(ax)axlna（10）(ex)ex（11）（12）
（13）（14）（15）
（16）
2．四则运算与求导法则
设uu(x)vv(x)都可导则（1）(uv)uv（2）(Cu)Cu（3）(uv)uvuv
（4）
3．复合函数的求导法则
4．隐函数的导数
例1求下列函数的导数
（1）（2）（3）（4）
例2确定了，求.
例3求由所确定曲线在处的切线方程和法线方程。
六、洛必达法则
例1求极限
（1）（2）（3）（4）
七、函数的单调性与极值
1．函数单调性的判定法
2．函数的极值及判断：取得极值的必要条件；第一、第二充分条件。
例1求函数的单调区间。
例2求函数的极值。
例3证明方程在上有唯一的实根。
八、函数的最大值、最小值问题
例1求函数在区间上的最大、最小值。
例2要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？这时底半径与高的比是多少？
九、曲线的凹凸性、拐点及渐进线
1．曲线的凹凸、拐点
2．曲线的水平、垂直渐进线
例1求下列曲线的渐近线：
（1）（2）（3）
[历年真题]
如果函数在处可导，，则极限
＝（）.（2003.17）
10不存在
2.甲乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（）.（2003.18）
甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样
甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样
甲、乙两人至少在某每时刻的瞬时速度一样
甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样
3.方程的实数根的个数是（）.（2003.19）
1234
4.如图，，是两个逐段线性的连续函数，设，则的值为（）.（2004.16）

5．如下不等式成立的是（）.(2004.18)