高数、线代复习要点.pdf

高数上复习要点：

第一章：1、极限（夹逼准则）

2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）

第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定

连续
2、求导法则（背）

3、求导公式也可以是微分公式

第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）

2、洛必达法则

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）

5、曲率公式曲率半径

第四章、第五章：积分

不定积分：1、两类换元法（变dx/变前面）

、分部积分法2（注意加C）（最好都自己推导一遍，好记）

定积分：1、定义2、反常积分

第六章：定积分的应用
主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长
第七章：向量问题不会太难
1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空

间平面4、空间旋转面（柱面）

线代期末复习要点

第一部分：基本要求（计算方面）
四阶行列式的计算；
N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；
矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；
求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；
含参数的线性方程组解的情况的讨论；
齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；
讨论一个向量能否用和向量组线性表示；
讨论或证明向量组的相关性；
求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；
将无关组正交化、单位化；
求方阵的特征值和特征向量；
讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；
通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；
写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；
判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识
一、行列式
1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展

开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；
Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；

Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=k^n|A|

3．矩阵的秩

（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元

所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵

（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半

边也成立）；

（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵，你懂

的)（注意顺序）

（3）可逆的条件：
①|A|≠0；②r(A)=n;③A->I;

（4）逆的求解

伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)

②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（A^-1）B；

XB=A，则X=B(A^-1)；

AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)

三、线性方程组
1．线性方程组解的判定

定理：
(1)r(A,b)≠r(A)无解；

(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)<n有无穷多组解；

特别地：对齐次线性方程组AX=0

(1)r(A)=n只有零解；

(2)r(A)<n有非零解；

再特别，若为方阵，

(1)|A|≠0只有零解

(2)|A|=0有非零解

2．齐次线性方程组
（1）解的情况：

r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只