2014冲刺班讲义(高数、线代、概率统计).pdf

导航·领航考研数学冲刺班高数线代概率讲义——李林

2014年数学冲刺班讲义
（高数部分）
一、函数、连续性
1、函数极限，洛比达法则、等价无穷小，数列极限，夹逼准则，
用定积分求.
(3+2tanx)x−3x
例、lim
x→+01
3tan2x+x3cos
x

1
例、lim[e(1+)−x−1]x
x→∞x

xu
du[u2−3sin(u−t)2]dt
例、求lim∫0∫0.
x→0x8

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11
例：求222222n
lim4[(n+1)⋅(n+2)L(n+(2n))]
n→∞n

x
f(x)−e+1x
例：设f(x)连续，lim=k,F(x)=tf(x−t)dt
x→0x∫0
F(x)
求lim.
x→0x3

12n−1
例：设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)>0,求limnf()f()Lf()f(1)
n→∞nnn

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2、无穷小的比较
例：设f(x)是方程y′′+2y′+y=e3x满足y′(0)=y(0)=0的解，则当x→0时,
y(x)与()等价无穷小.
(A)sinx2(B)sinx
(C)ln(1+x2)(D)ln1+x2

3、连续性，间断点讨论
例、下列命题中正确的个数为

1若f(x)在x=x0连续，则f(x)在x=x0必连续.

2若f−′(x0)与f+′(x0)均存在，但f−′(x0)≠f+′(x0),则f(x)在x=x0必连续.

3若f(x)与g(x)在x=x0都不连续，则f(x)+g(x)在x=x0必不连续.

4若f(x)在x=x0连续，g(x)在x=x0不连续，则f(x)⋅g(x)在x=x0必不连续.
（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.

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二、一元函数微分学

例：设ϕ(x)在x=x0某邻域内有定义，F(x)=x−x0ϕ(x)则F(x)在x=x0可导的
充要条件是
（A）limϕ(x)，limϕ(x)均存在，且limϕ(x)=limϕ(x).
−+−+
x→x0x→x0x→x0x→x0
（B）limϕ(x)，limϕ(x)均存在，且limϕ(x)=−limϕ(x)
−+−+
x→x0x→x0x→x0x→x0

（C）ϕ(x)在x=x0连续.

（D）ϕ(x)在x=x0可导.

例：已知f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极值−2，确定a,b,并求出f(x)所有极值及
y=f(x)拐点.

f(x)−1
例：设在三阶可导，且，则
f(x)x0lim3=k>0
x→x0
(x−x0)

(A)x=x0是f(x）的极大值.

（B）x=x0是f(x）的极小值.

（C）曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))左邻域是凹，右邻域是凸.

（D）曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))左邻域是凸，右邻域是凹.

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例：设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少.
1−ξ
证明：存在惟一ξ∈(0,1),使f(x)在[0,ξ]上的平均值等于f(ξ).
ξ

（由弹性求需求函数）
例、某商品的需求量Q对价格P的弹性为Pln3,该商品的市场最大需求量为1500件，
则需求函数为Q=______.

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例：设生产函数Q=AKαLβ，其中Q是产量，K为资金，L为劳动力，A，α，β
为正常数，且α+β=1，证明：
（1）在LK坐标系中，等值线Q=Q为严格单调下降上凹曲线.
0
（2）资金弹性与劳力弹性之和为1，即E+E=1
QKQL
（3）资本投入量与资本边际产量之积加劳力投入量与劳力边际产量之积等于
∂Q∂Q
总产量，即K+L=Q.
∂K∂L

⎧f′(0)x=0
⎪
例：设f(x)有一阶连续导数，f′′(0)存在，f(0)=0,证明函数g(x)=⎨f(x)，
,x≠0
⎩⎪x
有一阶连续导数.

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2、先求函数，在讨论其性质，如求极限，由函数导数的性质讨论函数性质，

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例：设f(x)满足3f(x)+4x2f(−)+=0，求f(x)的极值
xx

1
例：已知在上有连续导数且′，设数列
f(x)[1,+∞),0<f(x)<2x=f(n)(n=1,2,L)
xn
讨论数列{x}的极限