2011年海文考研线代冲刺讲义-铁军-.pdf

2011年北京万学海文
线性代数考研串讲班讲义

主讲铁军教授

铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、

天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与

王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从

事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风

格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度

负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老

师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数

学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！

2011年，考研竞争空前激烈！我们邀请铁军老师亲临海文面授，

为您考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！

2011年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力

下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您

更加自信！

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线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，
以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的
证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关
于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一
难点。
第一章行列式

行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按
列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之
后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。

111

x12xxn
222
【考点一】形如x12xxn的行列式称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的特点是：

nn−11−−n1
x12xxn

21n−
其每列元素1,xii,xx,,i按xi的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素x12,,,xxn
分别为每列元素的公比，且第一行元素为1.范德蒙行列式的值为：
111

xx12xn
222
x12xxnnnnn=−−−()()()()()()xxxxxx213132xxxx−−12xx−−1

nn−−11n−1
xx12xn

【例1】计算四阶行列式
3333
aaaa1234
2222
ab11ab22ab33ab44
（其中a,a,a,a均不为0）
D=22221234
ab11ab22ab33ab44
3333
bbbb1234
【详解】由范德蒙行列式
1111
b1b2b3b4

a1a2a3a4
2222
3333⎛b1⎞⎛b2⎞⎛b3⎞⎛b4⎞
D=a1a2a3a4⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝a1⎠⎝a2⎠⎝a3⎠⎝a4⎠
3333
⎛b⎞⎛b⎞⎛b⎞⎛b⎞
⎜1⎟⎜2⎟⎜3⎟⎜4⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝a1⎠⎝a2⎠⎝a3⎠⎝a4⎠

1

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⎛bb⎞⎛bb⎞⎛bb⎞⎛bb⎞⎛bb⎞⎛bb⎞
3333⎜21⎟⎜31⎟⎜41⎟⎜32⎟⎜42⎟⎜43⎟
=a1a2a3a4⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟.
⎝a2a1⎠⎝a3a1⎠⎝a4a1⎠⎝a3a2⎠⎝a4a2⎠⎝a4a3⎠

【考点二】掌握简化行列式运算的两个重要公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则
AOA*OA*A
（1）==AB；（2）==(−1)mnA⋅B.
*BOBB*BO

⎛⎞A24B
【例2】设A,B均是n阶矩阵，AaBbC===,,，
⎜⎟*1−
⎝⎠()ABO

则C=_________.

【详解】直接利用上述公式简化行列式运算。
AB24
CABB==−(1)(nn⋅−*1)4.
()AB*1−O

1111
而()AB*1−====，44Bb=n。
AB**ABABn−1abn−1

于是

2n
AB424
CABB==−=−(1)(nn⋅−*1)4(1)n.
()AB*1−Oan−1

【考点三】若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项
式的次数、零点等问题。
【例3】设行列式
xxxx−−−−2123
22212223xxxx−−−−
fx()=
33324535xxxx−−−−
4435743xx−x−−x
则方程f(x)=0的根的个数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4

【考点四】计算代数余子式线性组合的值：

aaa111j1n

1．行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式aaaiijin1(2)n≥中