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高等数学教案同济大学第七版

《高等数学一》课程教学大纲
课程名称：高等数学一课程编号：学分：4
适用对象：
一、课程的地位、教学目标和基本要求
课程地位
高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，
它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培
养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度
以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高
等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培

养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、
创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
教学目标
通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算
能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其
具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析
和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数
学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提
高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。

基本要求
1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续

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的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法
则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积
分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的
应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概
念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生
利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求
第一章函数与极限

通过本章学习

1、理解函数的概念，了解函数的几种特性，掌握复
合函数的概念及其分
解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函
数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、
了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限
的证明方法、理解极限存在与
左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。

4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷
小的证明方法。

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5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，
掌握利用两个重要极限求极
限的方法。
7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
8、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类
型。
9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性，
10、了解闭区间上连续函数的性质，
并会应用这些性质。

本章重点是求函数极限的方法。难点是数列、函数极
限的证明方法。

第一节映射与函数
一、映射
1.映射概念
2.逆映射与复合映射
二、函数
1.函数的概念

2.函数的几种特性
3.反函数与复合函数

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4.函数的运算
5.初等函数
第二节数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
第三节函数的极限
一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
二、函数数列的性质
第四节无穷小与无穷大

一、无穷小
二、无穷大
第五节极限运算法则
第六节极限存在准则两个重要极限
一、准则一：夹逼准则
二、第一个重要极限
三、准则二：单调有界数列必有极限
四、第二个重要极限
第七节无穷小的比较

一、高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷
小、等价无穷小的概念

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二、等价无穷小在求极限中的应用
第八节函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
第十节闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理

教学条件使用多媒体教学，本章教学内容与高中知识
联系紧密，可采取指导自学法。
第二章导数与微分

通过本章学习
1、理解导数的定义，掌握用导数的定义求导数的方
法，理解可导与连续的关系，
会利用导数的几何意义求平面曲线的切线方程和法
线方程，会求分段函数的导数。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，
熟练掌握基本初等函数的导

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数公式。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶
导数。
4、掌握隐函