2011文都考研数学强化高数讲义-蔡子华-4.pdf

稣叽屺n-吐∞m≡≡≡

③含对数、反三角函数的单一因子型,取亻=1
1四
【例求下列不定积分:
(1)∫(盯山nJ)2&(2)∫(l砬)3山

(吖
【解】(1)原r(?r山rLt)2—ψ∶γ山n02+亻wd√1—r2
枣丁∫帑竽孥篝t。
/1——/1—
=×蔽⒍rLr,饵2¨ˇ/arc⒍汪亻ˇ/·澧
∴丐

=r(盯函盯)2+2√1—山n1—亻dz·=
-=△`盯
(arcsiw)2+2ˇ勹=`击c⒍弼-2J+C
(2)原式=r(lrLt)3一灿¨3(ll·z)2·÷0J
-·
∷∵
=J(lru)3一(lrkr)2山=J(l叼)3一弦(lrLr)2+刂l击品
町∷

(ll△ˉ
=×lm)3—⒊t)2+勖ll△r一山=JrclⅣ)3一弦(lm)2亠lnr∶C
亻℃T弦十
用分部积分法时被积函数的非常见类型
【例11】求下列不定积分:^∶∵∷
山山
叫叫∷∷Ⅱ
猢⑴赋=∫“J+泅〃Ⅺ丙∷彳
=拘+冖屮+d+/叫洫+亻∵扁d∝∵∵
=√1+J2h(J+ˇ//1+严)T如k∷
=√′1+J2h(r+√′1+')—r+C
⑵赋=∫考幻五艹挠
=乎·瓦艹谎∫森点而Ⅱ塑于迎山
=訾·忑产而∫笋=宁·荪宀而+÷+C¨∷
4.换元积分法、分部积分法的综合题
∶
∷∶Ⅱ,
2)dJ。
1”r)艹h冫(1)j(、J)/(J)+[/(￡)彐
【例求∫Eln只咫i
∷
(」
=/(°/′)∫
【解】原式=∫lnEyˉcJ)/(r)]d「y(=)/(ρ]切ln勿∷Ⅱ
-叻∶∵

一(J)/《(J)/(=)]-1}+C
=勿ln〃仍+C亍∫J)(hE、厂Ⅱ

13】w)=茹
【例设〃⒍弘7汆∫∷∷∶

冖
't1)dJ。/

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【解】设Ⅱ=⒍m贝刂∫(勿)=瘳(仍≠0)只J)=干廴
管产|≠?)
·竺
··“J)山=∫笋氐k=一℃血ud⊥
∫于弘J

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⊥~JJ
∫ⅠΓ亏虍崇≡F≡云

(后“”—“
两行中T”号处当0(=<1时取f—号;当1<=(0时取+”。)
刊号
一骂严A呷|+C
Ⅱ。不定积分的常用技巧
1.加减常数法

【Jll1矧求∫Γ詈瑟圭dJr。

【解】原式=∫芒+r黑(细T1)缸二⊥r+C
锷玩琶菰Jdr=∫f(刀⒛蝉号厂

2.加减函数法∷
15】
【例求下列不定积分:
叫南叫揣

【解】(D原式二L宁芏da.二(1~≡
∫耘亓∫言嘉)dtr
=∫山一∫嬲=J—告h(1+e2r)+c
(2)原
式=∫钅托茸圬谔与J=∫÷&—∫邑.击
=h|f|~÷∫嬲=h|J|—÷h|1i/|+C
3.乘除函数法
猁瑚刽藩·∷
【解】原式=∫南屮=∫南=arctany+C
4.分母整体化法

【例1”求下列不定积分:

(1)∫
1亡而石山(2)∫dˉr
t乃Γ|;lΓR面f琶贲孑
【解】(1)设仍=1+J

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赋=1甲扬ˉ扬=R俨-2厂ieJ1?0)dJr
∫赞
弄1仍97+晶疒9:^壳厂99+C)→

=——1←一+C
以1+o叨履F扦扛甭两黠ˉJ)∞

一
(2)设Ⅱ=晋+J,则J=勿,dJ==d仍
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则原d9·
|J
2(、1i¨+钅c0阿T!
l=∫冥尹l万丌

三)d仍
=∫≡
dJ∶告∫∶{圣;亏;圣
^⑾
苎F骨匹扬=嘌
丬=翌sin2Bru岛丬翔

=递廴ln|csc“—cot勿|+Csα]+C

=增(晋+J)—cot(-于+f)|+csc(晋+J)]+c
11n|cs。
5.依分母分解法
【例18】求∫瓷瑟于怠窘山
【解】设3cosr-4sinr=c(cosJ+2⒍凹)+b(∞sr+2盂rltr)′
=(α+2莎)cosr+(‰—D)“盯

夕=-1,D=2。
得{∶丿F∶∶￡犭1解得
∴原式山+亻鱼&
T—∫嚣琶辟烤蚩活蓄夤奉铣31n.Rˉ击≠
=-￡+21n|cosJ+2血饣|+C
6.还原法

19】山
【侈刂求∫(1+J—÷)e斟

=∫山+∫J(1一=∫山+∫州d
獬法,原式艹多)dψ艹
畔士岵=Je艹
=卜&+=砂T卜屮+c
7.待定函数法

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【馏螃去2】令(1+△出+C
∫÷)e氵:==F(J)dⅡ
73

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