考研高等数学辅导讲义(蔡子华).doc

无限精彩人生文都铸就永恒

欢迎点击文都网站www.wendu.com
第一讲函数、极限、连续性
A．基本内容
B．重点
C．典型例题解析（见本讲义补充内容）
例1：“客观题”P4 1、2、3、4、6、19、20、22、29．
例2：“客观题”P6 2、5、6、12、18、21、22、43、45．
例3：设，
求：
解：
（1）当，即：时
（2）当，即：时，
（3）当，，即：时，
（4）当，，即：时，

例4：

例5：
例6：

例7：求下列极限
1．
解法一：原式

解法二：原式
2．
或用泰勒公式展开
例8：
例9：
例10：求
例11：已知，
证明：存在并求
例12：设，求的间断点并分类
例13：设，求其间断点．
例14：若对任意，有，且在处连续。
证明：对一切连续．
例15：设在上连续且，，则必使．

第二讲导数与微分
A．基本内容
B．重点
C．典型例题解析（见本讲义补充内容）
例1：“客观题”P118、10、15、16、19、24、25、29．
例2：“客观题”P14 3、8、13、18、30、38．
例3：设，求
例4：设，其中在处连续，求
例5：设是在（为常数）内的偶函数且存在，证明：
例6：设，求
例7：求下列函数的导数

例8：设，求
例9：设，求．
例10：设
其中有二阶连续导数，，．
（1）当为何值时，在处连续．
（2）在连续时，在处是否可导？
例11：设由所确定，求并求曲线在处的切线方程

第三讲中值定理与导数的应用
A．基本内容
B．重点
C．典型例题解析（见本讲义补充内容）
例1：“客观题”P18 5、10、18、19、21．
例2：“客观题”P20 3、8、9、15、26、27．
例3：设在上连续，在内可导，且，证明：必使．
例4：设可导，为任意实数，则的任意两个零点之间必有的零点．
设．
例5：设函数在上连续，在内可导且。证明：存在满足使．
证法1：在上，
在上，
再两式相加．
证法2：设，
必使，令．
例6：设，、，证明：在与之间存在一点，使
．
证明：对，用柯西定理．
例7：设在闭区间上存在四阶导数，且，证明：必，使．
例8：设、在上二阶可导，且．
证明：必，使．
例9：当时，证明：．
例10：证明：当时，．
例11：设在内可导且，，
证明：．
例12：证明：若在的某邻域内有二阶连续导数，当充分小时，恒成立，试证．
证法1：由题设
则
，即
证法2：若不然，，由的连续性知必，使时，则是上凸的曲线，故
取，则得与题设矛盾．
证法3：若，则同证法2知必使时，，由泰勒公式得：

（此处）
两式相加得：与题设矛盾．
例13：设不恒为常数的函数在上连续，在开区间内可导，且证明：使．
证明：若不恒为常数，知必使，不妨设
则
例14：证明：．
例15：设有两个极值点，求的极大值与极小值．
例16：设函数对一切满足方程．
（1）若在处取得极值，证明它是极小值．
（2）若在处取得极值，问它是极大值还是极小值．
例17：研究方程实根的个数．
解：令
则，令得
－0+↘极小值↗，
（1）若，则在内方程无根，在内方程有一根．
（2）若则在，内各有一根．
（3）若，则极小值，在内，在内，，即方程有且仅有一实根．
（4）若，则极小值，从而在内，方程没有实根

第四讲不定积分
A．基本内容
B．重点
C．典型例题解析（见本讲义补充内容）
例1：“客观题”P26 8、9、12、13、17．
例2：“客观题”P27 4、8、12、13．
例3：求下列不定积分
1． 2． 3．
4． 5． 6． 7．
例4：求下列不定积分
1． ，，，
2．
例5：求下列不定积分
1. 2. 3.
4.5. 6.
7.
例6：求
解法1：设
解法2：原式

原式
例7：设且，求
设
则

例8：求下列不定积分
1. 2. ① ②乘
3. 4.
5.

第五讲定积分及应用
A．基本内容
B．重点
C．典型例题解析（见本讲义补充内容）
例1：“客观题”P28 1、2、7、12、31、33．
例2：“客观题” P31 2、4、6、10、11、17．
例3：求下列定积分
1. 2.
3. 4.
5. 6.
例4：求
例5：计算，其中
例6：设在上连续，且，求
例7：求的最大、最小值
解：
令：得：
，

例8：已知以T为最小正周期的奇函数在内连续，证明：为以T为最小正周期的函数．
例9：若是连续函数，证明
，并计算
例10：证明：
证法1：设

则，
证法2：分部积分法
例11：设在上连续，内可导，且，证明：，使．
例12：设、在上连续，在上不变号，证明：必，使．
例13：设在上连续，且，证明：必，使
例1