2012年超越考研暑期强化班讲义《多元函数微分学》练习.pdf

多元微分学

dw
P85-练习1设we2xcos(yz)，而yx3，zx1，求．
dx
dwwwdywdz
解：
dxxydxzdx
1
2e2xcos(yz)e2x[sin(yz)(3x2)]
2x1

2x3213
e2cos(xx1)(3x)sin(xx1)
2x1

2
xysintF
P86-练习2设函数F(,)xydt，则．（2011）
022
1txx0
y2

Fyxysin2Fycos(1xyxy22)2sinxy2xy
解：,y，
x1x2y2x2(1x2y2)2

2F
故
24
xx0
y2

2z2z
P86-练习3设zf(x2y2)，其中f有二阶导数，求，．（2006）
x2y2

zx2zx2y2
解：；
f2f22f3.
xx2y2xxy(x2y2)2

2zy2x2
同理可求ff.
y2x2y2()x2y22

xy
P87-练习4设zf(xy,)g()，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导数，
yx

2z
求．（2000）
xy

z1y
解:根据复合函数求偏导公式fyfg(),
x12yx2

1

2zz1y

f1yf2g()2
xyyxyyx
x11xy1
fy[fxf()]f[fxf()]gg
11112y2y22y2122y2x3x2
1xy1
fxyfffgg
111y22y322x3x2

P87-练习5设函数zf(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g()x可

2z
导且在x1处取得极值g(1)1，求．（2011）
xyx1
y1

z
解：由题意g(1)0。因为yfyg()xf，
x12
2z
fyxfgxf()()()()gxfygxxfgxf，
xy1111222122
所以

2z
f11(1,1)f12(1,1)f1(1,1)
xyx1
y1

P88-练习6设zf(xy,xy,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz，
2z
．（2009）
xy
zz
解：ffyf,ffxf
x123y123
zz
dzdxdy()()ffyfdxffxfdy
xy123123
2z
ffyf
xyy123
ff(1)fxff(1)fxfyff(1)fx
1112132122233313233

f11()()xyf1322fxyf23xyf333f

2

yz
P89-练习7设函数zz(,)xy由方程F(,)0确定，其中F为可微函数，且
xx
zz
F0，则xy．（2010）
2xy

z
xz
yzyFzF
x12
解：FF1()20；
x2x2x
xF2


11zzF
FF01
1x2xyy
F2
zz
则xyz
xy

P92-练习8设函数f()x具有二阶连续导数，且f(x)0，f(0)0，则函数

zf(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是

（A）f(0)1，f(0)0（B）f(0)1，f(0)0

（C）f(0)1，f(0)0（D）f(0)1，f(0)0（2011）
zzf()y
解：f(x)lnf(y),f(x),
xyf()y
2z2zf()y
f(x)lnf(y),f(x)，
x2xyf()y

2
2zf()()()yfyfy
f().x
y2f2()y

在点(0,0)处，

2222
zzzz2
f(0)lnf(0),()2f(0)lnf(0)，
x2xyx2y2

2
当f(0)lnf(0)0且f(0)lnf(0)0时，即f(0)1，f(0)0时，

zf(x)lnf(y)在点(