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第一章函数极限连续性

考试要求
1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式.
2、了解函数的有界性，单调性，周期性和奇偶性.
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4、掌握基本的初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极
限之间关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则
7、掌握极限存在的两个法则，利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小，无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.
9、理解函数连续性概念（左连续与右连续），会判断间断点类型.
10、了解连续函数性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界
性，最值定理，介值定理），并会用这些性质.

[考点1]函数表达式及四个性质

[考点解析]按照大纲要求，主要考查：函数的四个性质，即奇偶性，单调性，周期性，
有界性。一般以填空题和选择题考察。
[内容与方法提要]
1•函数是一个映射，其要点是“对应”
2•判别奇偶性，周期性，单调性，用其定义.奇偶性：f(−x)=f(x),f(−x)=−f(x);周期
性：

f(x+T)=f(x),当x1<x2时,f(x1)<(>)f(x2),则f(x)单调增加（减少）；判别的有界性的
方法有两个：一是利用闭区间上连续函数一定有界；二是f(x)在开区间(a,b)上连续，且
f(a+0)与f(b−0)存在，则有界.

[典型例题]
⎧1,x≤1
例（101年数一，二）.设f(x)=⎨,则f[f(x)]=____.
⎩0,x>1
[解]f[f(x)]=1

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例2讨论下例函数的奇偶性：
⎪⎧1−e−x,x≥0
f(x)=.
⎨x
⎩⎪e−1,x<0
⎪⎧e−x−1,x>0
[解]利用定义法f(−x)==−f(x)
⎨−x
⎩⎪1−e,x≤0
f(x)为奇函数.
3•利用复合函数的奇偶性：设f(x)=f(u),u=ϕ(x),当f与ϕ的奇偶性不同时，其复合函
数y=f[ϕ(x)]为偶函数；当f与ϕ的奇偶性相同，则y=f[ϕ(x)]与外层函数f(u)有相同的
奇偶性.
x
4•有关积分上限函数F(x)=f(t)dt的奇偶性，若f(x)是连续的奇（偶）函数，则F(x)
∫0
是偶（奇）函数.

x
⎧f(u)du=F(x),当f(x)为奇函数
−xx⎪∫0
证明F(−x)=f(t)dt−t=uf(−u)d(−u)=.
∫0∫0⎨x
⎪−f(u)du=−F(x),当f(x)为偶函数
⎩∫0

例4设f(x)连续，则下列函数必为偶函数的为
xx
（A）f2(t)dt（B）f(t2)dt
∫0∫0
xx
（C）t[f(t)−f(−t)]dt（D）t[f(t)+f(−t)]dt
∫0∫0

5•利用可导函数的奇偶性：若当f(x)为奇（偶）函数，则当f′(x)是偶（奇）函数，
f′′(x)是奇（偶）函数.

例5设f(x)=−f(−x)在(0,+∞)内f′(x)>0,f′′(x)>0,则f(x)在(−∞,0)内
(A)f′(x)<0,f′′(x)<0.(B)f′(x)<0,f′′(x)>0.
(C)f′(x)>0,f′′(x)<0.(D)f′(x)>0,f′′(x)>0.
[解]f(x)为奇函数，则f′(x)为偶，f′′(x)为奇

故f′(x)>0，f′′(x)<0,x∈(−∞,0),选(C).

xsin(x−2)
例6f(x)=在哪个区间上有界.
x(x−1)(x−2)2
(A)(−1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)
[解]limf(x)与limf(x)均存在
x→−1+x→0−
选(A).
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[考点2]求未定型函数极限
[考点解析]主要考查：求函数极限的几种方法—利用两个重要极限，有理化，洛比达
法则，等价无穷小代换，变量替换，提取因子等常用方法。考试中常以填空和解答题
出现.
[内容与方法提要]
sin∇11
1•重要极限：lim=1,lim(1+)∇=lim1+∇)∇=e.
∇→0∇∇→∞∇∇→0
f(x)α(x)
2•等价无穷小代换：lim=lim.其中f(x)~α(x),g(x)~β(x).(x→x0).
x→x0g(x)x→x0β(x)
f(x)0∞f′(x)0
洛比达法则或（）′与′在内存在
3•:lim()=lim,f(x)g(x)U(x0).
x→x0g(x)0∞x→x0g′(x)
4•limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A
−+
x→