弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系.pdf

第四章应力应变关系（本构方程）

本章讨论弹性力学的第三个基本规律。

应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、

三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。

ji,j+fi=0

ij=(ui,j+uj,i)/2

共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，ij=ji，ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：

ij=ji=fij(kl)

第1节应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系

1.1应变能U和应变能密度W（比能）

如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变

形，产生变性能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变

能贮存在弹性体中。

外力做实功A：A=U物体的应变能U
UWdV
V

W：应变能密度——单位体积的应变能。

1.2应变能密度W与材料的本构关系


当外载ffiei，FFiei缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时

1
外力功增量变化。
F

x
3
f

o
x1x2


在某一时刻t：ffiei、FFiei

产生uuiei,ijeiej,ijeiej

时刻达到t+t：位移有增量uuiei，应变增量ijeiej

AfudVFudS
外力功增量：VS：函数增量

fudVFudSUWdV
ViisiiV应变能增量

A中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成

体积分。

FudS(u)ndS(u),dV
SiiSijijVjiij

上式代入外力功增量

A(fiji,j)uidVjiui,jdVijijdVWdVU
VVVV

Wijij——W为ij的函数。

因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过

2
W
程（加载路线）无关，所以W为它的全微分Wij
ij

比较上面二式，得：

W
f()
ijijkl——本构关系（方程）
ij

适用于各种弹性情况（线性、非线性）

由Wijij积分得

WWij
0ijij——应变能密度定义式。


WdWijd
一些书上写为0ijij

ij

dW

W

ij
dij
ij

第2节线弹性体的本构关系

2.1各向异性材料

在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况,以及

当ij=0时ij=0。

用指标符号表示：ij=Eijklkl

Eijkl共有81个元素（四阶张量常数）。

3
由于ij=ji，kl=lk

Eijkl减少为66=36个独立系数，用矩阵表示本构关系

{}=[c]{}
T
112233233112
T
112233233112

C11C12C16
CCC
C212226


C61C62C66

2
WijW
kl
根据ij，得
ijklijklij

T
则[C]为对称矩阵[C]=[C]。

最后Eijkl的独立系数为21个——材料为各向异性线弹性材料。

*对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生

剪应力。

弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化[C]中系数。

2.2具有一个弹性对称面的材料

x3
若物体内各点都有这样一个平面，
弹性主轴

对此平面对称方向其弹性性质相同，则

x2
称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面

的方向称为弹性主轴。
x1x3’

如取弹性对称面为x1—x2面，

x3为弹性主轴或材料主轴，并取另一坐标系x’i，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。

4
在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为13个独立系数。

Qi’jx1x2x3

x’1=x1100

x’2=x2010

x’3=-x300-1

''Q'Q'''''
代入ijikjlklijQikQjlkl得

''
xx1，'x，x，''xx
1x22x33x1x212

''xx''xx
x3x131，x3x232

应变分量具有相同关系式。

代入两组坐标系下的弹性方程{}=[c]{},比较得

C11C12C1300C16
CC00C
222326

C3300