高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案.doc

3．1.1空间向量及其线性运算3．1.2共面向量定理
学习目标：1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

1．空间向量
在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算定义(或法则)加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量eq\o(OA,\s\up9(→))和eq\o(OB,\s\up9(→))，根据平面向量加法的平行四边形法则．平行四边形OACB的对角线OC对应的向量eq\o(OC,\s\up9(→))就是a与b的和，记作a＋b减法与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：
大小：|λa|＝|λ||a|.
方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；
当λ＜0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa＝03.共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
4．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
5．共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
6．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小． ()
(2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．
()
(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆． ()
(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b. ()
(5)已知四边形ABCD，O是空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))＝eq\o(DO,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))，则四边形ABCD是平行四边形． ()
[答案](1)√(2)×(3)×(4)×(5)√
2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up9(→))的是________(填序号)．
①eq\o(A1D1,\s\up9(→))－eq\o(A1A,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))；
②eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(BB1,\s\up9(→))－eq\o(D1C1,\s\up9(→))；
③eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(DD1,\s\up9(→))；
④eq\o(B1D1,\s\up9(→))－eq\o(A1A,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→)).
[解析]①eq\o(A1D1,\s\up9(→))－eq\o(A1A,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AD1,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(BD1,\s\up9(→))；
②eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(BB1,\s\up9(→))－eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝eq\o(BC1,\s\up9(→))＋eq\o(C1D1,\s\up9(→))＝eq\o(BD1,\s\up9(→))；
③eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up9(→))－eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up9(→))－eq\o(BB1,\s\up9(→))＝eq\o(B1D,\s\up9(→))≠eq\o(BD1,\s\up9(→))；
④eq\o(B1D1,\s\up9(→))－eq\o(A1A,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up