2015中考数学 专题复习1 开放性问题.doc

开放性问题
开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.

题型之一条件开放型
例1(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明.
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.
【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；
(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH与BH应满足的条件.
【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE∥CF或EH=FH或∠EBH=∠FCH或∠BEH=∠CFH等.
选择EH=FH，证明如下：
证明：∵点H是边BC的中点，∴BH=CH.
在△BEH和△CFH中，

∴△BEH≌△CFH(SAS).
(2)如图，当BH=EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下：
∵BH=CH，EH=FH,
∴四边形BFCE是平行四边形.
又∵BH=EH,∴EF=BC.
∴四边形BFCE是矩形.
方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.

1.（2014·湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行.

2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).

3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB.(写出一个即可)

4.(2014·娄底)先化简，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.

5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，请添加一个条件，使得四边形ABCD为矩形，并说明理由.

题型之二结论开放型
例2(2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.
(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求；
(2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)
【思路点拨】(1)要验证y=x+(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；
(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.
【解答】(1)当p=时，y=x+(100-x).即y=x+50.
∴y随着x的增大而增大，
即p=时，满足条件(Ⅱ)；
又当20≤x≤100时，×20+50≤y≤×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).
综上可知，当p=时，这种变换满足要求.
(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x-20)2+k.
∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，
令x=20,y=60，得k=60.
令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=.
∴y=(x-20)2+60.
方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,