概率统计复习资料.doc

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程
期末复习资料
古典概型例子
摸球模型
例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;
例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m个球中有k1(≤a)个白球、k2(≤b)个黑球、k3(≤c)个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率.
占位模型
例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：
(1)A={指定n个格子中各有一个质点}；(2)B={任意n个格子中各有一个质点}；
(3)C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.
抽数模型
例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？
2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
如对于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。
例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)
例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(AB)，，，
3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件Bi，i=1,2,…,n,…的概率P(Bi)，以及Bi发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|Bi)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(Bi|A)。
例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P(a<X<b)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]
例：随机变量的分布律为.
1234k2k3k4k确定参数k
求概率P(0<X<3)，
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数的分布律及期望

(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)
确定参数
求概率P(a<X<b)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]
例：已知随机变量的概率密度为，
确定参数k
求概率
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数的密度及期望
(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,…,m,…；j=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P{(X,Y)G}
求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,…,m,…；P(Y=yj)=p.j，j=1,2,…,n,…
求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,…,m,…和P(Y=yj|X=xi)，j=1,2,…,n,…
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求函数Z=g(X,Y)的分布律及期望E[g(X,Y)]
例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y)，P(X=Y)
求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3
求条件分布律P(X=k|Y=2)k=0,1,2和P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律
(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x,y)
确定参数
求概率P{(X,Y)G}
求边缘密度，，判断是否相互独立
求条件密度，
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求函数