常见三角函数最值及解法.docx

小专题三角函数最值的常见题型及解法
求三角函数的最值,主要是利用正弦函数,余弦函数的有界性,一般通过三角变换划归以下几种类型处理
一、一次函数型
=1\*GB2⑴y=asinx+b
设t=sinxt∈[-1,1],则原函数化为一次函数y=at+b在闭区间[-1,1]上最值.ymax=a+b,ymin=−a+b
专项练习
=1\*GB3①已知y=3sinx−1,ymax=____,ymin=____
=2\*GB3②设函数y=acosx+b的最大值为3,最小值为−2,则a=___,b=___.
=2\*GB2⑵y=asinx+bcosx+c
利用辅助角公式转化为y=a2+b2sin(x+φ)+c,再求最值.
二、二次函数型
=1\*GB2⑴y=asin2x+bsinx+c
设t=sinxt∈[-1,1],则原函数化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1,1]上最值问题
=2\*GB2⑵y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c
设t=sinx±cosxt∈[-2,2],sinxcosx=±t2-12,则原函数化为二次函数y=a2t2+bt+c∓a2在闭区间[-2,2]上的最值问题.
专项练习
=1\*GB3①函数y=sin2x+2cosx−3的最大值为____,最小值为____
=2\*GB3②y=2sinxcosx−3(sinx-cosx)−2的最大值为____,最小值为____
三、分式型
=1\*GB2⑴y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosc+d(分子分母函数名称一致)
基本方法:反解sinx或cosx,再利用正弦函数或余弦函数的有界性求最值.
=2\*GB2⑵y=asinx+bccosx+d
=1\*GB3①代数法:
去分母得y(ccosx+d)=asinx+b,
移项得asinx−yccosx=b−dy
利用辅助角公式得a2+y2c2sin(x+φ)=b−dy
解得sin(x+φ)=b-dya2+y2c2进一步利用sin(x+φ)≤1建立不等式b-dya2+y2c2≤1可求得y的取值范围
=2\*GB3②几何法(斜率法):
原函数可化为y=ac∙sinx+bacosx+dc,令k=sinx+bacosx+dc,则问题转化为单位圆x2+y2=1上的动点(cosx,sinx)与定点(−dc,-ba)连线的斜率问题.设过点(−dc,-ba)的直线为y+ba=kx+dc,联立x2+y2=1y+ba=k(x+dc)此时既可用点线距离法求k范围,也先消元由∆≥0求得k范围,再ac倍求得y的范围.
或将y也可看成点(−d,−b)与点(ccosx,asinx)连线的斜率,进而将y看做点(−d,−b)与椭圆x2c2+y2a2=1上任意一点连线的斜率.进一步写出直线方程,消元由判别式∆≥0求得y的范围.

专项练习
=1\*GB3①y=sinx+1sinx+2的值域为_____
=2\*GB3②y=sinxcosx-2的值域为____