求动点的轨迹方程.doc

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）
在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x,y）满足的关系式。
1.直接法
（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；
（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
解：设动点M(x,y)，直线MN切圆C于N。

依题意：，即
而,所以

(x-2)+y=x+y-1
化简得：x=。动点M的轨迹是一条直线。
2.定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r。
若圆M与圆C相外切，则有∣MC∣=r＋4
若圆M与圆C相内切，则有∣MC∣=r-4
而∣MP∣=r,所以
∣MC∣-∣MP∣=±4
动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,c=4。
动点的轨迹方程为：

3.相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。

解：设M(x,y),A(),依题意有：
x=,y=
则：x=2x-4,y=2y-3,因为点A()在圆上，所以

点M的轨迹方程为：

动点M的轨迹为以（2,）为圆心，1为半径的圆。
4.参数法
例题：已知定点A（-3,0），M、N分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，。求动点P的轨迹C的方程。

解：设N(0,t),P(x,y)
直线AN的斜率，
因为，所以直线MN的斜率
直线MN的方程为y-t=,令y=0得x=,所以点M(,0)
,
由,得
x=),y-t=,则

所以动点P的轨迹方程为：
5.交轨法
例题：如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线与的交点的轨迹的方程。

解：设，由已知得，
则直线的方程为，直线的方程为，
即y+2=
y-2=-
两式相乘，消去即得的轨迹的方程为．

练习与答案
1.设圆C与圆x2+（）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为A
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
2.已知圆，圆，一动圆与这两个圆外
切，求动圆圆心P的轨迹方程。

(x>0)
3.过点A(4，0)作圆O∶x+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。
(x-2)+y=4(0≤x<1)
4.已知圆C：+(y-4)=1,动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，
且︱PM︱=︱PO︱（O为坐标原点）。求动点P的轨迹方程。
提示：︱PO︱=︱PM︱=
3x+4y-12=0
5.已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。
解：动点P到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
动点P到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
依题意有：︱PC︱-1=︱PC︱-1，即
︱PC︱=︱PC︱
所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。所以动点P的轨迹方程为：
2x+y-5=0
6.已知双曲线的左、右顶点分别为,点P（），Q（）
是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。
解：由为双曲线的左右顶点知，
，，两式相乘，
因为点在双曲线上，所以，即，故，
所以，即直线与交点的轨迹的方程为
7.已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。
解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.
8.已知点C（1，0），点A、B是⊙O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。

解：连结CP，由，知AC⊥BC
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂径定理知
即
设点P（x，y），有
化简