南京航空航天大学《高等数学》114函数展开成幂级数.pdf

问题的提出

泰勒级数

函数展开成幂级数
一、问题的提出∞
给定一个幂级数n已讨论它
∑a(nx−)0x,§3
n=0
的收敛半径,,收敛区间并用它的分析性质求
和函数。现在研究反过来的问题。
问题的提出：已知一函数f()x，将其表成幂
∞
级数n即用一无穷级数来表达函数
∑a(),nx−0x.
n=0
问题:1.在什么条件下函数才能展开成幂级数?

2.如果能展开,an是什么?
3.展开式是否唯一?
二、泰勒级数

1.复习泰勒公式

若f()x在0的某个邻域内有直到xn+1阶导数则,

f(x)=f(x)0+f'(0x−)(x0+x)
f()n()x
+(x0−x)n+(R)x−(1)
n!0n

p=()()nx+Rnx
f(n+1())ξ
其中:()Rx=()(,)x−xn+1ξ在xx之间
n(n+1)!00
2.泰勒级数概念
若f()x在所讨论的邻域内具有任意阶导数

形式上:泰勒公式(1的右边总可写成幂级数):
?
f(x)＝
f''()x
f(x)+f'(x)(−xx+)0()x−x2+
000n!0
f()n()x
+(0x−)xn+(−2)
n!0

—称为f(x)的泰勒级数
3.函数展开成泰勒级数的充要条件

问题(:2是否收敛)?,若收敛和函数是否就是f()?x
(2若)收敛于f(x那么),f就可表示成它的x()
Talor级数,()即fx可展成幂级数(2).

定理设f()x在点0的某个邻域xU()0x内任意阶可导,
f()x在该区间内能展开成泰勒级数⇔f()x的

泰勒公式的余项：limRxn(=)∀0x∈U0(x)
→n∞

证明f()x的泰勒公式：f()()()x=Sn+1x+nRx
f()n()x
S(x)=f(x+)f'(x−)(x+x)+0()x−xn
n+1000n!0
R()()()xn=fx−n+1Sx

对于U()0x内的一切xlimSn+1(x=)f(x)
→n∞

⇔limRn(x=)0
→n∞

(故在U)内,0xlim当Rnx(=时，)0
→n∞
f()x的泰勒级数收敛且和函数就为f()x
故函数f()x就可表达成泰勒级数,即

f(x)f=(x)0+f'(0x−)(0x+x)
f()n()x
+(0−x)xn+,xU(∈)x—(3)
n!00
当x=0时
0"f(0)
(f)x=(f0)+f'(0x+)x2+
2!
f()(n0)
+xn+(4)
n!
—f()x的麦克劳林级数
4.展开式的唯一性

能
2n
f要证x:()=a+0a1x+a2+xn+a(x+5)
(5)式称为fx(的麦克劳林级数)(4，)
f()(n0)
即,系数a=
nn!
事实上:∵(5在收敛区间内可逐项求)导

2n−1
fx'⎧=(a)+1a2x2+a33x++nnax+
⎪
f"x⎪(=)a2+!⋅a3x+2(+n1n)−n−2a+x
∴⎨23n
⎪
⎪()n
f(x⎩)=n!a(n+n1+)n(n−1)n+1+2ax
"f(0)
将x=0代入得a(=f0)a='f(0)=a
0122!
f()(n0)
,a=,
nn!
重要结论:

fx()在x−0x<内能展成点Rx0的泰勒级数

⇔limRxn=()x0−0x<,且展开式是唯一的。R
→n∞f"()x
f(x)=f(x)+f'(x−)(x+x)0()x−x2+
000n!0
f()n()x
+0()x−xn+
n!0
特别当:x0=0时
"f(0)
()f(x0=)+f'(0−x)(+0()x−02)+
n!
f()(n0)
+(x−0n)+
n!
三、函数展开成幂级数
1.直接展开法

(1)作出fx(泰勒级数)
()n
(,求f()x0=n0,1,写出泰勒级数2,)
(2确定收敛半径)R

(3考察)x−x0<内R
(n+1)
f()ξn+1
limRn(x)=lim(x−x0)=0
→n∞→n(∞n+1)!

在(ξx0与x之间)
例1f将()x=ex按的幂展开成幂级数。x

(或在x0=0处的泰勒级数或麦克劳林级数)

解(1f)()nx(=(0))xe()nf1(=n=0,1,2)
f()x的麦克劳林级数
111
+1x+x2+3x++xn+
2!3n!
an!
(2)limn+1=lim=0R=+∞
→n∞→n∞
an(n+1)!
eξ
(3R)(x=)xn+10ξx
n(n+1)!
对任何指定的x∵0<eξ<xe
xn∞xn
且lim=0∵(在(,))−∞+∞绝对收
→n∞∑
n!n=0n!
ξ
en+1
∴limRn=limx=0
→n∞→n(∞n+1)!

111
=e∴+x+1x+x23+x+xn+(1)−−
2!3n!
∈x(,)−