南京航空航天大学《高等数学》103格林(Green)公式(下).pdf

曲线积分与路径无关的定义

曲线积分与路径无关的条件

二元函数的全微分的求积
一、曲线积分与路径无关的定义
定义设G是一个开区域P,x(,y),Q(x,在y)内具G
有连续的一阶偏导数,对任意给定的ABG,,∈及从点

AB→点的任意两条曲线LLG1,2∈
y

Pdx+QdyL⋅BG
∫1
L1
L2
=Pdx∫+QdyA⋅
L2
ox

则称曲线积分Pdx+Qdy在G内与路径无关,
∫L
否则与路径有关.
定理Pdx+Qdy在内与路径无关G
∫L
⇔Pdx+Qdy=0,为任一条封闭曲线C
∫C
证明""⇒设C为任一条封闭
曲线,在C上任取两点AB,
y
∵==−
∫L∫LL∫−
122
c⋅BG
L1

L2
∴+−=0A
∫LL1∫2⋅
即,=0ox
∫C
"",,⇐ABG设∈

LLAB1,为从2→
的任意两条光滑曲线y
⋅BG
L1
∵−==0
∫LLC+∫L2
12A⋅
∴=−ox
∫L∫L−
12

即=
∫LL∫
12
二、曲线积分与路径无关的条件

定理设开区域G是一个单连通域,函数
P(x,y),Q(,x在G)内具有一阶连续偏导数,y
则曲线积分Pdx∫+Qdy在G内与路径无关
L
（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
∂P∂Q
要条件是=在G内恒成立.
∂y∂x
证明""⇐由格林公式是显然的.
∂P∂Q
""⇒已知Pdx+Qdy=0要证在,G内=
∫C∂y∂x
∂P∂Q
用反证法.()设在MG∈处≠
0∂y∂x
∂Q∂P∂P∂Q
不妨设(−)M=η>0∵,,在G内连续
∂x∂y0∂y∂x
∂Q∂Pη
∴KMMM∃{/=<(δ>0)},在∂K上恒有−≥
0∂x∂y2
设γ是K的正向边界,有
∂Q∂Pη
Pdx+Qdy=()−dxdy≥⋅σ>0
∫γ∫∫∂x∂y2
K
∂Q∂P
σ为K的面积与Pdx+Qdy0=相矛盾!∴=
∫L∂x∂y
注(1)域开区G是一个单连通域.
(2)P函数(x,y),Q(,x在G)y内具有
一阶连续偏导数.两条件缺一不可
ydx+xdy
如I=C:+x22y=1=π2
∫Cx2+y2∫C
1∂Q∂P
G:<x2+2y4<=x(,)y∈G
4∂x∂y
LG∈的任一闭路不包含原点在内部
但=2π≠0
∫x2+y2=1
例1证明曲线积分在整个平面内与路径无关.
(1,2)
且计算e(x+y)dx+(xey−2的值)ydy.
(∫0,0)

yy
P解=e+xQ=xe2−yyM(1,2)
∂P∂Q
=ey=
∂y∂x
∴与路径无关.

(0,0)(1,0)x
例1证明曲线积分在整个平面内与路径无关.
(1,2)
且计算e(x+y)dx+(xey−2的值)ydy.
(∫0,0)
解
(1,2)
e(x+ydx)+(xey−2y)dy
(∫0,0)
12yM(1,2)
=(x1+dx)+(ey−2y)dy
∫00∫

27
=[][](1+x+)1ey−y22=2e−
2002

(0,0)(1,0)x
例,2计算xydxA(1,0)是由L−到B(1,0)沿曲线:
∫L

(1)L1单位圆的上半圆弧:

(2)L2沿:轴的直线段x

(1)L3单位圆的下半圆弧:

验证：xydx=xydx=xydx
∫L∫LL∫
123

思考：xydx是否与积分路径无关？
∫L
注
(1)若积分与路径无关，可自由选择路径；
一般选择平行于坐标轴的折线段

(2)若积分与路径无关，是指从起点到终点的任何
路径积分都相等.若有有限条路径积分相等,
也未必与路径无关

(3)也可用全微分法
三、二元函数的全微分的求积

前面讲过:(,)z=fxy
∂f∂f
dz=dx+dy
∂x∂y
反过来的问题:
Px已知(,)(,),ydx+Qx在什么条件下ydy
(1它是某一函数)u(,);x的全微分y
(2如何求出)u(x,y).
定理设开区域G是一函个单连数通域,
P(x,y),Q(,x在G)y续偏导阶连一内具有
P则x数,(,)(,)ydx+Qx在yG内为某一dy
函数u(,)x的全微分的充要条件是等式y
∂P∂Q
=
∂y∂x
在G内恒成立.

(,)xy
u(,)xPy=x(,)(,)ydx+Qxydy
∫(,)xy
o0
""(,)(,)(,)du证明x⇒设yP=xydx+Qxydy
∂u∂u
则，P=(,)(,)xyQ=xy
∂x∂y
∂2u∂P∂2u∂Q∂P∂Q
==∴=
∂x∂y∂y∂x∂y∂x∂y∂x

∂P∂Q
""⇐设在单连通区域G内有=,
∂y∂x

由定理3，起点:M(0,x00),y终点M:x(y,)
的曲线积分在G内与路径无关.
Δ(,)xy
Pxydx(,)(,)Qx+ydy=(,)(,)Px+ydxQxydy
∫L(,)∫xy
00
时定起点固
−−−