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南京航空航天大学《高等数学》103格林(Green)公式(上).pdf

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区域连通性的分类 格林(Green)公式 一个简单应用 1 一、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. D D 单连通区域复连通区域 2 设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面,则称G为空间一维单连通区域. G GG 一维单连通一维单连通一维不连通 二维单连通二维不连通二维单连通 3 二、格林(Green)公式 规定D的边界曲线L的正向: L1 L1 D D L2 L2 L由L1与L2连成L由L1与L2组成 边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 4 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围 成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连 续偏导数,则有 ∂Q∂P (−)dxdy=Pdx+Qdy(1) ∫∫∫L D∂x∂y 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 5 y 证明(1)y=ϕ(x) E2 d x=ψ(y) 若区域D既是X−型1DB 又是Y−型,即平行于 坐标轴的直线和L至Ax=ψ(y) c2 多交于两点.Cy=ϕ1(x) x oab D={(x,y)ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x),a≤x≤b} D={(x,y)ψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d} 6 ∂Qdψ2(y)∂Q dxdy=dydx ∫∫∫c∫ψ(y) 1 D∂x∂x dd =Q(ψ(y),y)dy−Q(ψ(y),y)dy ∫c2∫c1 Q(x,y)dy ∫Ly =Q(x,y)dy+Q(x,y)dyE ∫CBE∫EACd x=ψ(y)D =Q(x,y)dy−Q(x,y)dy1 ∫CBE∫CAEB ddA =Q(ψ(y),y)dy−Q(ψ(y),y)dyx=ψ2(y) ∫c2∫c1c Cx ∂Qo ∴dxdy=Q(x,y)dy ∫∫∂x∫L D∂P 同理可证−dxdy=P(x,y)dx ∫∫∫L7 D∂y ∂Q∂P 两式相加得(−)dxdy=Pdx+Qdy ∫∫∫L D∂x∂y 证明(2)L3D3D 2L2 l3 l2 若区域D由按段光滑的闭l1 曲线围成.如图,D D 1L 将D分成三个既是X−型又是L1 Y−型的区域D1,D2,D3. ∂Q∂P∂Q∂P (−)dxdy=(−)dxdy ∫∫∂x∂y∫∫∂x∂y DD1+D2+D3 8 ∂Q∂P∂Q∂P∂Q∂P (−)dxdy+(−)dxdy+(−)dxdy ∫∫∂x∂y∫∫∂x∂y∫∫∂x∂y D1D2D3 =Pdx+Qdy+Pdx+Qdy+Pdx+Qdy ∫L1+l1∫L2+l2∫L3+l3 =Pdx+Qdy+Pdx+Qdy+Pdx+Qdy ∫L1∫L2∫L3 L3D3D 2L2 =Pdx+Qdyl3 ∫Ll2 l1 D (LL,L对D来说为正方向)D 1,231L L1 9 证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段AB,CE.G L3 则的边界曲线由AB,,BA, DL2E AFC,CE,L3,EC及CGA构成. L2C DB ∂Q∂PF L 由(2)知∫∫(−)dxdy1 D∂x∂yA ={+++++++}⋅(Pdx+Qdy) ∫AB∫L∫BA∫AFC∫CE∫L∫EC∫CGA 23 =(++)(Pdx+Qdy)=Pdx+Qdy ∫∫LLL∫ 231∫L (LL,L对D来说为正方向) 1,2310 注使用格林公式 (1)L−−闭(2)L−−有方向的 (3)P(x,y),Q(x,y)在L上有连续的一阶偏导数 格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系. 便于记忆形式: ∂∂ dxdy=Pdx+Qdy. ∫∫∂x∂y∫L DPQ 11 例1计算:xy2dy−x2ydx ∫L L是沿圆周x2+y2=2x的正向闭路 解∵Q=xy2P=−x2y ∂Q∂P =y2,=−x2 ∂x∂y ∴xy2dy−x2ydx ∫L =∫∫[y2−(−x2)]dσ=∫∫(x2+y2)dσ DD π2cosθ24π3π =2dθr3dr=2cos4θdθ= ∫−π∫0∫−π 242212 又解x−1=cost,y=sint,t:0→2π x'=−sint,y'=cost xy2dy−x2ydx ∫L 2π =[(1+cost)sin2tcost−(1+cost)2sint(−sint)]dt ∫0 2π =(1+3cost+2cos2t)sin2tdt ∫0 2π =π+2(1−sin2t)sin2tdt ∫0 π 2π3π =π+8[sin2t−sin4t]dt=π+8⋅= ∫0162 又解: