数学解题错误的分析.doc

高中学生数学解题常见错误的分析
甘肃省景泰京华中学教研室李怀忠730400
在平时的数学教学中，经常会看到学生在解题中犯一些“低级错误”，明明是会做的题目却偏偏做错了，老师要求学生改正，但错误依旧重复昨天的故事，究其错误的原因很多，与学生的认知水平有关，与学生掌握知识的程度有关，与学生心理状态有关。找出学生解题错误的原因，对于提高课堂教学质量与效率具有十分重要的意义。本文就学生在解题中的常见错误作一归纳总结。
一、知识结构不完善
主要表现在以下几个方面：
（1）概念，性质含糊不清。
学生在接受新概念的过程中，由于认识的偏差，对新概念的条件和结论不能完整把握或对概念的理解支离破碎，以致在解题过程中对概念和性质含糊不清。
例1：在等比数列{an}中，已知an=，求a2+a4+…+a2n+…
错解：根据题意a1=，q=，则数列a2，a4，a6，，a2n是首项为，公比为的等比数列，所以a2+a4+…+a2n+…=
错因对数列前n项和的概念与各项和的概念的混淆。
正解a2+a4+…+a2n+…=
（2）忽略公式和重要结论存在的条件

例2设数列{an}，前n项的和Sn=3n+2n+5，求数列的通项
错解由an=Sn-Sn-1=2×3n-1-2n-1即为所求，
错因上述错误原因在于忽略公式“an=Sn-Sn-1”对n≥2成立。
二、思维逻辑不合理
从本质上说，逻辑也属于知识范畴，但有时导致错误的盲点是在于逻辑，而不在于教学，其有以下几种表现：①潜在假设，所谓潜在假设，就是还没有经过讨论的，就总认为正确的必然的那种想法②“偷梁换柱”③对参数分类不当④非等价变换⑤“循环论证”⑥因果关系不明
例3、设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程
错解；如图1，认为点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是|PB|，可设椭圆方程为：（a>b>0），则由e=①a2=b2+c2②b+=③解得a=2-3b=-。
错因当然也有学生认为点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是|PA|或|PC|。上述解法学生均在不适当的潜在假设基础上，必然导致错误。
正解设椭圆上点M（x0，y0）到点P的距离最远，则M（x0，y0）满足（a>b>0），由a=2b，
则|PM|=(-b≤y0≤b)
化简后得：
|PM|=（-b≤y0≤b），然后讨论对称轴y0=-在区间[-b，b]内、外两种情况得：当y0=-时，|PM|max=，此时b=1，a=2。
例4、已知函数f（x2-3）=lg，判断函数f（x）的奇偶性。
错解设t=x2-3，则x2=t+3，所以f（t）=lg，即f（x）=lg。又因为f（-x）=lglg=-f（x），所以f（x）是奇函数。
错因转换不等价，没有考虑求出函数的定义域。
正解因为>0，所以x2>6，即t=x2-3>3。所以f（x）=lg（x>3）的定义域不关于原点对称，是非奇非偶的函数。
三、心理性错误
数学习题的解答，除了依靠学生的知识技能之外，还和本身的心理能力和智力分不开，即使知识技能掌握的不错，也可能因为心理障碍而产生错误，甚至一筹莫展，一些同学对立体几何就存在心理障碍。那么，高中阶段的学生心理表现在以下几个方面；
（1）能力的缺失，这里所说的心理能力包括识别能力，记忆能力，信息加工能力，想象能力，由于上述能力的不足，导致学生在解决数学问题时不能准确的确立问题的类型；不能对以前出现过的问题迅速的识别；同时，对于数据较多的习题，表现为顾此失彼。
例5、已知集合A={y|y=1-x2，x∈R}，B={y|y=2x2，x∈R}，求A∩B。
错解根据题意由y=1-x2①y=2x2②解得
x=-x=
y=y=所以A∩B={（-，），（，）}
错因学生由于对问题识别能力的缺失，未弄清集合中元素的特征，本题中两个集合的代表元素是y，是二次函数的值组成的集合，是求两个函数的值域组成集合的交集。
正解={y|y=1-x2，xx∈R}={y|y≤1}，B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}
所以A∩B={y|0≤y≤1}。
（2）惰性心理造成的错误
数学概念拓展了，但学生的思维产生了惰性，停留在原有的认知。如高中数学将数的概念拓展到复数后，学生的思维还停留在实数，以致于经常有：z2≥0，|z|2=z2；z12+z22=0z1=0且z2=0；|z1|=|z2|z1=±z2；z1-z2>0z1>z2；z13=z23z1=z2等等
例6、已知|z|-z=1-i，求z。
错解由已知|z|-z=1-i，得：|z|=z+1-i，有|z|2=（z+1-i）2，则z2=z2+2（1-i）z+（1-i）2，得z=
错因上述解法的错误在于学生的思维还停留在实数，误以为|z|2=z2，
高中数学这种由惰性心理造成的错误