绵阳二诊数学理.doc

绵阳市高2012级第二次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
CDADCBBADC
10．提示：问题转化为．由，
得，
即在递增，在递减，
=1\*GB3①当，即时，，
即．
=2\*GB3②当即时，
，此时.
将，代入检验正确.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．-16013．14．15．=1\*GB3①③
15．提示：=3\*GB3③法一：和是(-1，1)上的“接近函数”，
结合图形，使，
令，，
即时，；时，．
所以．
法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点，当直线和圆在的“竖直距离”为1时，．
=4\*GB3④若与是上的“远离函数”，
即，
．
令，则在递减，在递增，
∴；
令，，易得在递增，在递减，∴，∴．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，则为所选取的人中没有1人为“满意观众”，
∴P(A)=1-P()=1-=1-=，
即至少有1人为“满意观众”的概率为．………………………………4分
(Ⅱ)由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为，即从观看此影片的“满意观众”的概率为，同理，不是“满意观众”的概率为．…6分
由题意有ξ=0，1，2，3，则
P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，
P(ξ=3)==，
∴ξ的分布列为
ξ0123P……………………………………………………………10分
∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=2．………………………12分
17．解：(Ⅰ)如图，连结AC、BD交于O，连结OE．
由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为△PAC的中位线，
∴EO//PA．
∵EO面EBD，PA面EBD，
∴PA//面EBD．………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由已知PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥CD．
如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系．
设AD=2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，=(2，2，-2)，(2，0，0)．…………………………………6分
B
A
C
P
D
E
F
O
x
y
z
设F(x0，y0，z0)，，则由=(x0，y0，z0-2)，
得(x0，y0，z0-2)=λ(2，2，-2)，即得
于是F(2λ，2λ，2-2λ)．
∴=(2λ，2λ-1，1-2λ)．
又EF⊥PB，
∴，解得．
∴，．………………………………………8分
设平面DAF的法向量是n1=(x，y，z)，
则即令z=1，得n1=(0，-2，1)．
又平面PAD的一个法向量为n2=(0，1，0)，………………………………10分
设二面角P-AD-F的平面角为θ，
则cosθ=，
即二面角P-AD-F的余弦值为．………………………………………12分
18．解：(Ⅰ)由余弦定理得，
则．…………………………………………………4分
(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，
于是由已知sinB+sinC=得，
即，
将，代入整理得．=1\*GB3①………7分
根据，可得．
代入=1\*GB3①中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，
解得．……………………………………………………………10分
∴由正弦定理有．………………12分
19．解：(Ⅰ)∵二次函数的对称轴为x=，
∴an≠0，，整理得，………………………2分
左右两边同时乘以，得，即(常数)，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴，
∴．……………………………………………………………5分
(Ⅱ)∵，=1\*GB3①
，=2\*GB3②
=1\*GB3①-=2\*GB3②得：，
整理得．…………………………………………………………8分
∵=>0，
∴数列{Sn}是单调递增数列．………………………………………………10分
∴要使Sn<3成立，即使<3，整理得n+2>，
∴n=1，2，3．………………………………………………………………12分
20．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为，焦点坐标为(c，0)，
由题知：结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2，
∴椭圆E的标准方程为．………………………………………4分
(Ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)，
由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，
联立方程
消去，得，
于是x1+x2=，x1x2=．①………………………7分
又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，
则可转化为，
整理得：．……………………