中点四边形教学设计.docx

中点四边形教案设计

定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/124728.htm"\t"_blank"平行四边形。中点四边形的面积为原四边形面积的一半。证明：设有一任意四边形ABCD，AB中点为E,BC中点F，CD中点为G，AD中点H，连接四边形EFGH，则四边形EFGH为中点四边形∵△ABD中，E，H是AB和AD中点∴EH是△ABD的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/417009.htm"\t"_blank"中位线∴EH∥BD，EH＝１/2BD同理FG∥BD，FG＝１/2BD∴EH∥FG，EH＝FG∴平行四边形EHGF∴任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形特殊情况：（1）如果该四边形对角线互相垂直（可得出有一角为90度），则中点四边形为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/150124.htm"\t"_blank"矩形，如菱形
的中点四边形是矩形。（2）如果该四边形对角线互相相等（可得出有一组邻边相等），则中点四边形为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/133728.htm"\t"_blank"菱形，如矩形的中点四边形是菱形。（3）如果该四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形，如HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/56164.htm"\t"_blank"正方形的中点四边形是正方形。探索：1.当四边形对角线互相垂直时，中点四边形为矩形；
例1.如图1，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFCH为矩形，四边形ABCD应该具备的条件是（）

A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线相互垂直
D.对角线互相平分
解：选C。
证明：连结BD，∵点E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线。
∴EH∥BD，，
同理：GF∥BD，。
∴EH∥GF，EH＝GF∴四边形EFGH是平行四边形。
∵AC⊥BD，AC∥EF，BD∥EH，
∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形。

2.当四边形对角线相等时，中点四边形为菱形；
例2.如图2，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。

解：添加的条件：对角线相等
理由：连结AC、BD，
∵在△ABC中，AE＝BE，BF＝CF，
∴EF为△ABC的中位线
∴。同理可得

又∵AC＝BD（添加条件），∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形。
说明：若添加的条件：对角线互相垂直，那么四边形为矩形；若添加的条件：对角线互相垂直且相等，则四边形为正方形。

例3.如图3，四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，且AC⊥BD。顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形；再顺次连结四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去得到四边形。

（1）证明：四边形是矩形；
（2）写出四边形和四边形的面积；
（3）写出四边形的面积；
（4）求四边形的周长。
（1）证明：∵点、分别是AB、AD的中点，
∴是△ABD的中位线
∴，同理：
∴
∴四边形是平行四边形。
∵AC⊥BD，，
∴，即。
∴平行四边形是矩形
（2）连结AC，∵顺次连结四边形ABCD的各边中点得到四边形
∴则
同理可得：，

∴四边形的面积四边形ABCD的面积
∴四边形的面积四边形的面积；
（3）依次类推得：四边形的面积为；
（4）由（1）得矩形的长为4，宽为3；∵矩形~矩形；
∴可设矩形的长为4x，宽为3x，则
解得∴矩形的周长
说明：有关相似多边形的知识将在今后学习。
对例3的再探索：
（1）①当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；
②当为偶数次时，四边形的形状是菱形。
（2）四边形的面积为原四边形ABCD的面积；
由例3得矩形的长为4，宽为3；矩形的周长
∵矩形~矩形；
∴可设矩形的长为4x，宽为3x，则
解得：；∴矩形的长，宽
∴矩形的周长
由上可知：矩形的周长
同理可得：矩形的周长
矩形的周长……因此得：
（3）当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；其周长的周长
因矩形的长为4，宽为3，由勾股定理得对角线
∴菱形的边长
则菱形的周长
由矩形的长为2，宽为，那么由勾股定理得对角线

∴菱形的边长
则菱形的周长
菱形的周长
菱形的周长……
②∴当n为偶数次时，四边形的形状是菱形；其周长的周长

例4.O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC