矩形典型例题选讲.doc

矩形典型例题选讲本讲通过以下例题的分析与解答，介绍如何综合运用所学知识解决问题。例1.：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O点，AE平分∠BAD，交BC于E点，若∠CAE=15°，求∠BOE分析：由已知不难得出∠OBE=30°，欲求∠BOE的度数，需解决BO与BE之间的大小关系。解：如图所示，在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠EAB=45°在△ABE中，∵∠BAE=45°，∠ABE=90°∴∠AEB=45°，∴AB=BE∵∠EAD=45°，∠EAC=15°∴∠CAD=30°∴∠BAC=90°-30°=60°∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∴AO=BO∴△ABO是等边三角形，即AB=BO∴在△BEO中，BE=BO而∠EBO=30°例2.已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系。分析：如果连结BF，由已知，设法推出∠AFB+∠BFC=90°，若连结AC，设与BD交于O点，并连结OF，还可利用矩形的对角线互相平分且相等，以及三角形中位线的性质，得出，相比之下，后者方法较好解：AF⊥CF，证明如下，如图，连结AC，设它与BD交于O点，连结OF∵四边形ABCD是矩形，在△DBE中，∵DO=OB，DF=FE又∵BE=BD，BD=AC在△ACF中，∵AO=OC，∴∠AFC=90°∴AF⊥CF。例3.已知：如图，矩形ABCD中，CM⊥BD，AE平分∠BAD和MC的延长线交于E点。求证：AC=CE分析：欲证AC=CE，只要∠E=∠CAE，为了证明这两个角相等，不妨设∠DAO=α，这样可确定此图形的形状。只要求出∠E也等于45°-α即可解：如图，在矩形ABCD中，设∠DAO=α∵EA平分∠BAD，∴∠EAD=45°∴∠CAE=45°-α∵AO=OD，∠DOC是△AOD的外角∴∠DOC=2α又∵CM⊥BD，∴∠MCO=90°-2α而∠OCM是△ACE的一个外角∴∠E=∠OCM-∠CAE=(90°-2α)-(45°-α)=45°-α∴在△ECA中，∠E=∠EAC∴AC=CE想一想：如果作AN⊥BD于N点，由已知EM⊥BD，可得AN∥ME，则∠E=∠EAN，这样，欲证∠E=∠CAE，只要证∠EAN=∠CAE。这又转化为证明∠BAN=∠DAC。试一下，这样作辅助线进行证明如何？例4.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，AE是∠BAC的外角平分线，DE∥AB，交AE于E，试确定四边形是什么图形？解：四边形ADCE是矩形证明如下：对于△ABC，∵AB=AC，AD⊥BC∴∠B=∠ACB，BD=DC又∵AE是其外角∠CAF的一部分线∴AE∥BC又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形∴AE=BD，AB=DE，从而AC=DE∴AEDC∴四边形ADCE是平行四边形。又∵AC=DE，∴四边形ADCE是矩形。例5.取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)：第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图(2)第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图(3)利用展开图(4)探究：(1)△AEF是什么三角形？证明你的结论。(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

[解](1)证明：如图7-72△AEF是等边三角形，证法一：由平行线分线段定理知PE=PA，∴B'P是Rt△AB'E斜边上的中线，∴PA=PB'，∠1=∠3又∵PN∥AD，∴∠2=∠3而2∠1+∠2=90°∴∠1=∠2=30°，在Rt△AB'E中，∠1+∠AEF=90°∴∠AEF=60°，∠EAF=∠1+∠2=60°∴△AEF是等边三角形。证法二：∵△ABE与△AB'E完全重合，∴△ABE≌△AB'E，∠BAE=∠1由平行线等分线段定理知EB'=B'F又∠AB'E=90°，∴△AB'E≌△AB'F，AE=AF∴△AEF是等边三角形。(2)不一定。由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的时正好能折出。如果设矩形的长为a，宽为b，可知当时，按此法一定能折出等边三角形；当时，按此法无法折出完整的等边三角形