高考数学总复习：定积分与微积分基本定理.doc

高考数学总复习：定积分与微积分基本定理
知识网络目标认知考试大纲要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。难点：正确计算定积分，利用定积分求面积。知识要点梳理知识点一：定积分的概念定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.知识点二：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.知识点三：微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；3.如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.②变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；2.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。