差分与微分方程.doc

差分方程
理论：
1.一阶差分方程
….刻画该变量
形如或称为一阶差分方程；
2.二阶差分方程

形如称为二阶差分方程
3.平衡点和稳定性
如果即平衡点
渐近稳定：存在的某个邻域U，对任意的,虽然，但
4.应用及软件实现：
一阶线性常系数差分方程，
其中为常数，有3种方式计算时段的增长率
前差公式：
中点公式：
后差公式：
其中中点公式的精度最高
的解为等比数列
若，则仅有平衡点。
稳定当且仅当
下面选取参数和初始值，按迭代，绘图观察其解的长期行为
详见程序
r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09];
x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];

一阶线性常系数非齐次差分方程
若则为等差数列；
若，则
引入则
可得此时平衡点稳定当且仅当
实例：Florida沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为1.94%，而在中等及较差自然环境下年平均增长率仅为-3.24%和-3.82%，即它逐渐减少，假设在某自然保护区内开始时有100只沙丘鹤，请建立数学模型，描述其数量变化规律，并作数值计算。
人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年人工孵化5只沙丘鹤放入该保护区，问在3中自然条件下沙丘鹤的数量将会如何变化？
r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09];
x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];
forn=1:20
x(:,n+1)=(1+r).*(x(:,n));
end
s{1}='x0>0,r>0';
s{2}='1';
s{3}='1';
s{4}='1';
s{5}='1';
s{6}='1';
s{7}='1';
s{8}='1';

fork=1:8
subplot(4,2,k),plot(0:20,x(k,:),'k+')
axis([-1,21,-100,100])
xlabel(s{k})
end

r=[0.0194,-0.0324,-0.0382];
x=[100,100,100];
fork=1:20
x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r);
end
disp('yanbian')
disp('yeargoodmedianbad')
disp([(0:20)',round(x)])
plot(0:20,x(:,1),'k^',0:20,x(:,2),'ko',0:20,x(:,3),'kv')

思考问题：
贷款有两种还款方式：等额本金和等额本息
设有房款60万，首付12万，贷款48万，期限20年，月利率0.5%，问两种还款方式最终差多少钱？
二、某种山猫在较好中等以及较差的自然环境下，年平均增长率分别为：1.68%，0.055%和-4.5%，假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势
1.三种自然环境下25年的变化情况，结果要列表并图示；
2.如果每年捕获3只，山猫数量将会如何变化？会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？
3.在较差自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？

二阶线性常系数齐次差分方程：
形式：其中
其特征方程为
所以有2个互异的根(一对实根或共轭复根)，因为
于是一般解为
其中为任意常数，给定得到
得到唯一解
则仅有平衡点
可以证明当同时时平衡点是稳定的
斐波那契数列：在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的小兔，每对新生的兔子也从它们第二个月开始，每月生出一对一雌一雄的小兔，求一年后围栏内有多少只兔子？第二年后呢？

从理论和软件两方面分析

酵母培养物的增长
问题提出：
下表数据是从测量酵母培养物增长的实验收集而来，请建立数学模型，模拟酵母培养物的增长过程
K=[0:18];
xk=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,661.8];
问题分析：
首先绘制xk关于k的散点图

极限可能存在
再计算并绘图

前图是关于k,后图是关于xk，看出后者呈现明显的二次曲线关系
利用前差公式计算……………………………….（1）

前图是rk关于k，后图是rk关于xk的散点图以及直线拟合
易见rk关于xk近似线性递减关系
………………………………..（2）
将（1）代入（2），即建立了离散阻滞增长模型

符号说明：
K：小时；
Xk：酵母培养物在k小时的生物量；
rk：生物量在k小时的增长率；
r：生物的固有增长率；
N：生物的最大容纳量
建立模型：

模型求解和模