点到直线的距离.doc

课题：点到直线的距离
教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.
（2）会求点到直线的距离.
（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法
教学过程：
一、引入
点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度
【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离．
（由学生分析、解答）
分析：先求出过点和垂直的直线：
：，再求出和的交点
∴
如果把问题1一般化就有如下问题：
【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离．
二、点到直线距离
分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度．
∵点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了．
又∵点是直线和直线的交点
又∵直线的方程已知
∴只要求出直线的方程就可以了.
即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直问：这种解法好不好，为什么?
根据学生讨论，HYPERLINK"http://www.teachercn.com/"\t"_blank"教师适时启发、引导，得出
分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：
，
所以：，
所以：
根据三角形面积公式：
所以：（至此问题2已经解决）
公式的完善.
容易验证（由学生完成）：
当，即轴时，公式成立；
当，即轴时，公式成立；
当点在上时，公式成立．
公式结构特点
师生一起总结：
（1）分子是点坐标代入直线方程；
（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根．
类似于勾股定理求斜边的长
三、检测与巩固
练习1
（1）到直线的距离是________．
（2）到直线的距离是_______．
（3）用公式解到直线的距离是______．
（4）到直线的距离是_________．
订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）．
练习2
1．求平行直线和的距离．
解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离．
因此，＝＝
【问题3】
两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与0的距离．
解：在直线上任取一点，如
则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）．
因此，＝＝
注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．
四、小结作业
1、点到直线的距离公式及其推导；
师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：
2、利用公式求点到直线的距离．
3、探索两平行直线的距离
4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．
作业：P5413、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．

探究HYPERLINK"http://www.teachercn.com/Kcgg/Hdkc/"\t"_blank"活动
HYPERLINK"http://www.teachercn.com/Kcgg/Yjxxx/"\t"_blank"研究性学习
点到直线距离公式是本节的重点和难点之一，公式的推导历来是探索的重点．HYPERLINK"http://www.teachercn.com/Kcgg/Jcyj/"\t"_blank"教材上的第二种方法较传统已有不少改进，但运用向量的理论研究两条直线的位置关系的新思想在这一问题上没有体现，而运用向量理论推导点到直线的距离公式又是可行的，因此尝试用向量推导距离公式是很有意义的．为此设计如下HYPERLINK"http://www.teachercn.com/Kcgg/Yjxxx/"\t"_blank"研究性题目：
试用向量的理论推导（或证明）点到直线的距离公式．
简要思路：
首先规定直线的法向量．设直线的方程为，是上任意一点，则的方程可表示为的形式．由向量内积的概念可知向量是与直线的方向向量垂直的向量，我们把称为直线的法向量．
其次推导点到直线的距离公式．设是直线：外的一点，是上的任一点，垂直于．则所求为．如图５，不妨l的法向量到的角为，则不论为锐角还是钝角，总有，因为：

所以：

=

即
线的斜率