弹塑性力学接触问题课件.doc

授课教案

课程名称：弹塑性力学及其应用

总学时：32总学分：2

课程类别：必修

任课教师：易先中

单位：机械工程学院

职称：教授

授课专业：机械

授课班级：机械S121

201～201学年第学期

课题接触问题学时2教学目标
与要求本课程的目的主要是让学生在硕士学习期间在掌握了解接触应力所产生的应力效应，如：接触应力的边界效应等；了解工程实际中的几种典型接触问题，如：圆柱体之间的外接触、圆柱体之间的内接触和球体之间的接触等；了解工程实际中典型零件的接触问题，如：齿轮传动的接触问题，滚动轴承的接触问题，轴毂配合的接触问题。重点1、掌握平面接触问题和空间接触问题的分析，以及半无限平面问题的求解；
2、研究两个平行轴圆柱的接触问题；
3、掌握一般情况下的弹性接触问题。难点1、了解齿轮接触问题；
2、了解空间轴对称问题；
3、了解半空间体受几种典型载荷作用下的情况。教学方法
与手段多媒体
做习题
举例子参考资料1、徐秉业,黄炎,刘信声等编，弹塑性力学及应用，机械工业出版社，1989
2、（英）K.L.Johnson著，《Contactmechanics》，CambridgeUniversityPress，Firstpublished1985
3、（加）格拉德韦尔（Gladwell,G.M.L.）著,《经典弹性理论中的接触问题》,北京理工大学版社，1991年12月
4、吴家龙编著，《弹性力学》同济大学出版社，1987年8月

教学内容9-1弹性力学半无限楔形体与半无限平面问题
我们先分析研究如图9-1。所示的半无限楔形体，楔体的顶角为2α，楔体的厚度等于1，顶端受集中力P的作用。当β=0时，如图9-1b所示，当β=π/2时，如图9-1c所示，此两种特殊情况均为解决无摩擦及有摩擦时两圆柱体接触问题的重要的基础。
我们也可以引进应力函数Φ，但是它是r与θ的函数，所以我们应该将平面问题的基本方程

9-1半无限楔形体受集中力作用

转换成极坐标的形式。
极坐标与直角坐标之间的关系为

所以得

由于Φ是x,y的复合函数所以有

重复上述运算可得出

利用这些公式，很容易证明
，
所以极坐标表示的双调和方程可写成
（9-1）
利用以上关系式，也可得用应力函数表示。令x轴与r轴重合，y轴与
θ轴重合，亦即，则

由此可得

（9-2）
现在应用量纲分析来选取本例的应力函数,由于楔形体内任意一点的分量与α,β,P,r
,θ等诸量有关，为此应力分量也只能包括这些量。其中α,β,θ为无量纲的数量，P的量纲
是力/长度，r的量纲是长度，而应力分量的量纲是，则这个表达式应取成的形式
，式子中k为由α,β,θ所组成无量纲数量。而由极坐标的表达式，，表达式可知，应力函数中的r的幂次应该比应力分量中r的
幂次高二次，亦即应力函数只能包含r的一次幂，为此可设应力函数为
（9-3）
将上式代入
得
亦即
此四阶常微分方程的通解为
（9-4）
式中A、B、C、D均为积分常数，因此应力函数的具体形式为

上式中右边的前两项为，由于它是坐标x,y的线性项，不产
生应力，故可删去，则应力函数可简化为

相应的应力分量为

由上式可见，楔形体左右两面的边界条件都可以满足

面对如图9-1a所示的任一圆柱mn，该截面上只有，所以mn截面上的组成的合力
沿x,y方向的分力应与外载荷的分力组成平衡力系，可得

将以上应力分量表达式代入上式后得

积分后得

所以得积分常数

最后可得应力分量为
（9-5）
上式中当（图9-1b）及（9-1c）时两种特殊情况，是为了解决两圆柱体接触问题受正压力及摩擦力作用时的基础，为此分别列出如下。
（1）当时，得
（9-6）
如转换成直角坐标表示时，可得
（9-7）
利用结果可以得到边界上受集中力P作用的半无限平面问题的解
（2）当时，得
（9-8）
令楔形体的，则成为如图9-2a所示的半无限平面体，仍取厚度等于1，在其边界
上的0点有一向下集中力P作用时，则
（9-9）

a)b)
图9-2半无限平面受集中力作用
其直角坐标表示的应力分量为
如有几个集中力同时作用在边界面上时，则可将各个集中力的单独作用的结果叠加，就可以求得任意点的应力。
（9-10）
其应力分布如图9-2b所示。
以上的应力分量是分析齿轮等接触应力的基础，但为了解决齿轮等接触问题必须会求位移分量。
由于应力分量为，作为平面应力状态时，利用广义胡克定律
可得
（9-11）
面应变与位移之间的关系为
（9-12）
由此可得

积分第一式后，得
其中是坐标的函数
由第二式
积分后得

将、的积分式代入后得

由于、互相独立，所以得到以下两个微分方程

由以上两微分方程可得

将以上结果整理后可得位移分量的表