《高等数学》绪论1.ppt

进入21世纪出现了“自然科学、社会科学各学科
日趋数量化，数学科学更加社会化”的新局面。
数学已遍及
——理、工、农、林、生物、医学
——军事、国防
——经济、管理
——人文科学
数学还应用于文学研究、历史研究、
考古学、语言学等过去很少涉及的领域
出现了地震数学、生物数学、计量经济学、计量
社会学等新的交叉学科国家教育部于1998年10月在北京香山召开的
«数学教育在大学教育中的作用»研讨会，就以下
几个问题达成共识：三、微积分起源？1.早期对数学有深刻影响的悖论断言假设：量是无限可分的，或由许多极微小的不可分的部分组成，结论：运动是不可能的。悖论1二分法如果一条直线段是无限可分的，运动是不可能的。因为，为了越过此线段必须先通过中心，而过中心必须首先过四分之一点，要过四分之一点又必须首先通过八分之一点，…，以至无穷。因此运动永远不能开始。悖论2箭如果时间是由极微小的不可分的瞬间组成的，则运动的箭总是静止的。因为在任何瞬间箭都在一个固定的位置上，由于这对每一个瞬间是正确的，因此箭永远不动。我们仅以上述两条悖论为例说明。2.穷竭法如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，从剩余部分中再减去不小于它的一半的另一部分，…。则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量。“一尺之棰，日截其半，万截不穷”最早有关几何体积的结果证明均基于此法。如阿基米德给出的球体、柱体、锥体等体积的结果。3.积分在西欧起源刻卜勒把圆周当作有无限多边的正多边形，如果这些边的每一条被取作顶点在圆心的三角形的底，则圆的面积被分成无限多个其高等于圆的半径的窄三角形。由于每一个这样的窄三角形的面积等于其底和高乘积的一半，从而推出：圆的面积等于其圆周和半径乘积的一半。类似地，把球体的体积看作是由无限多个以球心为公共顶点的窄圆锥组成的,…。尽管从数学严谨性的观点看，这样的方法是要不得的，但他们以很简单的方式得出了正确的结果。逐步形成了积分。4.微分的起源微分的实际背景：曲线的切线问题和求函数的极大、极小值问题。——微积分基本问题。先驱者费尔马。虽然刻卜勒已经注意到了，但费尔马给出了具体形式。令这是求函数普通极大、极小值的常用方法。同时他也给出了过曲线上一点作切线的一般程序。5.微积分的基本定理在某种程度上的积分和微分概念在牛顿和莱布尼茨的工作以前，已经有相当好的进展。他们的一个重大发现是：一个函数的微分和积分这两个表面上无缘的极限过程是密切相关的。事实上它们为互逆运算。于是没有独立的微分学和积分学，只有一个微积分。首先认清和利用微积分的基本定理的是牛顿和莱布尼茨，当然他们的新发现正是科学发展的正确道路。6.牛顿——微积分的主要创始人之一牛顿，1643年出生。伟大的物理学家、数学家及神学家。他对物理问题的洞察力和用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。莱布尼茨——在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。拉格朗日——牛顿是历史上最有才能的人，也是最幸运的人，因为宇宙体系只能被发现一次。英国诗人波普——自然和自然的规律沉浸在一片黑暗之中，上帝说：生出牛顿来，一切都变得明朗。牛顿自评——我不知道世间把我看成什么样的人，但是，对我自己来说，就像一个在海边玩耍的孩子，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴。在我面前是完全没有被发现的真理的大海洋。如果我比别人看的远些，那是由于站在了巨人的肩上，7.莱布尼茨—十七世纪伟大的全才，微积分主要发明人之一莱布尼茨——1646年出生，童年时期熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识；青年时代开始发展“万能算法”、“符号逻辑”、“数学原理”。微积分的数学符号多出自他之手。在他生命的最后七年，是在别人带给他和牛顿的关于他是否独立于牛顿发明了微积分的争论中艰难地渡过的。8.发明权之争牛顿和莱布尼茨的伟大功绩在于明确地认识到微分学基本问题和积分学基本问题之间的密切联系，在他们努力下形成的崭新的统一方法使之成为科学发展的有力工具。牛顿发现很早，莱布尼茨发表在先。虽然在浓厚的探讨新理论的学术空气中，相继独立地发现是不足为奇的。微积分发明权之争时间之长，争论之激烈，导致英国长时期忽视了欧洲大陆的数学发展。今天的普遍说法：他们彼此独立地发现了微积分。牛顿发现在先，而莱布尼茨发表的早。——形成牛顿莱布尼茨公式。9.微积分的进一步探索微积分的主要成就在十七世纪出现，而直到十八、十九世纪之后，才真正形成完整的理论体系，并开始推广及应用方面的研究。在此基础上数学的各个学科都得到了飞速的发展。如三角学、解析几何、数论、概率论、微分方程、拓扑学、数理逻辑等。同时开创若干新领域。如变分法、偏微分方程、射影几何等。这时开始出现专业的数学家：伯努利家族、泰勒、麦克劳林、欧拉、柯西、拉格朗日、高斯等。四、全国大学生数学建模竞赛