例说圆锥曲线有关最值问题.doc

例说圆锥曲线有关最值问题
中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。
常见求法：
1、回到定义
例1、已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，
∴.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。
（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|
∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB|-|PC|)
根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB|-|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB|-|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=；当P到P"位置时，|PB|-|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=。
回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法
例2、在抛物线上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。
解：设抛物线上的点，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离
当时，，故所求点为。

例3、已知一曲线，（１）设点A的坐标为，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。
解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则
∵x≥0
∴所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是
（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有
综上所述，有
3、运用函数的性质
例4、在△ABC中，，，的对边分别为a,b,c，且c=10,，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。
解：由
∵∴∴△ABC为Rt△由C=10，且知a=6b=8
设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则Rt△ABC的内切圆M的方程为：
设圆M上动点P（x,y）()，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为＝88-4x
∵点P在内切圆M上，，于是
例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。
略解：设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即
下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得。
例6、已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。
略解：设P（2cosθ,sinθ），(0<θ<л/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
本例利用三角函数的有界性。反过来，有些代数最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的5。
4、判别式法
例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。
解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为，，那么，①由题意，得②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为③，将①③代入②整理得④，∵为实数，
故△＝又∵x>0得⑤，当时，△＝０由④解得⑥，，可得⑦，由⑥，⑦可得，，由①即得相应的，。
故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或。
法二：∴
∴
∵①②
由①－②２得③①＋③得④
④代入①得
当且仅当时等式成立。
∴
说明：此法即为下面的基本不等式法。
5、利用基本不等式
例8、已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：
（1）|PF1||PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。
略解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1||PF2|=mn≤=4.
|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42