四校联考理科数学试题.doc

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2010届广东实验、华师附中、金山中学等四校联考
数学（理科）
第一部分选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.某学校有教师人，其中高级教师人，中级教师人，初级教师人.现按职称分层抽样选出名教师参加教工代表大会，则选出的高、中、初级教师的人数分别为
A．B．C．D．
S=1
i=3
Whilei＜①
S=S×i
i=i+2
Endwhile
PrintS
End
（第3题图）
2.若复数是纯虚数，则实数的值为
A．1B.或1C.D.或3

3.设计一个计算的算法．图中给出了程序
的一部分，则在横线①上不能填入的数是
A． B．
C． D．

4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）
A．B．C．D．
C1
正视图
侧视图
俯视图
2
3
1
2
2
2
2
第4题图

5.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在
叶形图内部的概率是
A．B．C．D．第5题图

6.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵
树与两墙的距离分别是m、m，不考虑树
的粗细．现在想用m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形
的花圃．设此矩形花圃的面积为，的最大
值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的
图象大致是

第6题图

A．B．C．D．

7. 下列三图中的多边形均为正多边形，Ｍ,Ｎ是所在边上的中点，双曲线均以图中、为
焦点，且三个图中的的长相等.设图①②③中双曲线的离心率分别为，则
A．B．C．D．

①②③
第7题图
8.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以
构成一个“锯齿形”的数列:记其前
项和为，则的值为
A． B． C． D．第8题图
第二部分非选择题（110分）
二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题，每小题5分,共30分.
（一）必做题（9～13题．）
9.一组数据的方差为，则数据的方差为
___________．
10.的展开式中的常数项为．
11.已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则
第一排
最后一排
观礼台
旗杆
°

结束
的值为．
12.年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在
坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个
垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排
测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和
最后一排的距离为米，则旗杆的高度为米．第12题图
13.若不等式的解集为，则实数的值为_____________．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第14题的得分．）
14.（几何证明选讲选做题）如图，在中，∥，
∥，︰＝︰，，则＝____.
第14题图
15.（坐标系与参数方程选做题）若为曲线（）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为_____________．

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知向量，其中＞0，且，又函数的图像两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值及相应的值．

17．（本小题满分12分）
某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交元的入场费，可参加一次抽奖活动.抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值之和为分，则获得价值为元的礼品；若抽得两球的分值之和为分或分，则获得价值为元的礼品；若抽得两球的分值之和低于分，则不获奖.
（1）求每位会员获奖的概率；
（2）假设这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则应为多少元？

18．（本小题满分14分）
如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，
，，是线段的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求二面角的大小；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得直线与所成角为？

19．（本小题满分14分）
如图，在直角梯形中，，点在线段的延长线上.曲线段上任一点到、两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）试问：过点能否作一条直线与曲线段相交于两点
、，使得线段以C为中点？若能，则求直线的方程；
若不能，则说明理由．

20．（本小题满分14分）
已知函数，其中为不大于零的常数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：(,为自然对数的底数).

21．（本小题满分14分）
设是关于的方程的根.试证明：
（1）