中考数学函数条件最值的求解策略.doc

中考数学函数条件最值的求解策略
重庆市北碚区江北中学刘伟（400714）

实际生活中有许多问题需要求最大(小)值,解决这类问题关键是将实际问题中的数量关系转化为数学问题,建立数学模型,然后利用函数、不等式、方程等知识求出最值.
一、有关一次函数的条件最值问题
一次函数y=kx+b(k≠0)在自变量允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大值或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围，那么y=kx+b的最大值或最小值就可能存在。一般地有下面的结论：
yy

n0mxn0mx
如果n≤x≤m，那么y=kx+b有最大值
或最小值。
当k>0时，y最大值=km+b,y最小值=kn+b;
当k<0时，y最大值=kn+b,y最小值=km+b.
yy

n0xn0x
如果x≥n，那么y=kx+b有最大值
或最小值。
当k>0时，y最小值=kn+b;
当k<0时，y最大值=kn+b
（3）如果x≤m，那么y=kx+b有最大值
yy

0mx0mx
或最小值
当k>0时，y最大值=km+b;
当k<0时，y最小值=km+b
凡是用一次函数式表达的实际问题，求其
最值时，都需要用到边界特性，如物质的运输
与供应、生产任务的分配与定货、邮件的投递等。
例1．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需出职工数和产值预测如下表：
作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜1100元烟叶750元小麦600元请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，且使农作物预计总产值最多。
①

②

③
①

②

③
解：设种蔬菜x亩，烟叶y亩，小麦z亩，预计总产值为w元，根据题意得：

由①②得：y=90-3x,z=2x-30;代入③得
w=1100x+750(90-3x)+600(20x-40)=43500+50x
由x≥0,y=90-3x≥0,z=2x-40≥0得20≤x≤30.
由一次函数的性质可知，当x=30时，w最大=45000元，此时y=0,z=20.
答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，这时所有的职工都有工作，且农作物预计总产值最大值为45000元。
例2．若x1,x2是关于x的方程x2-x+m=0的两个实数根，求x12+x22的最值。
解：∵x1,x2是关于x的方程x2-x+m=0的两个实数根
∴x1+x2=1，x1x2=m+2,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1-2(m+2)=-2m-3.
∵方程有实根，∴△=1-4(m+2)≥0,即
∴当时，x12+x22有最小值
二、有关二次函数的条件最值问题
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x取全体实数时，或者有最大值或者有最小值。下面进一步讨论二次函数在某一给定条件下的最大值和最小值。
y

n0mx
图一
y

n0mx
图二
如果x=在定区间n≤x≤m内。
如图一，若a>0,则x=时，y有最小值；
取n,m中离x=较远者时，y有最大值。
如图二，若a<0,则x=时，y有最大值；
取n,m中离x=较远者时，y有最小值。
如果x=不在定区间n≤x≤m内。
y

0nmx

y

0nmx

y

nm0x

y

nm0x

y

nm0x

.

图三图四图五图六
如图三，若a>0,n>时，则当x=n时，y有最小值an2+bn+c；
当x=m时，y有最大值am2+bm+c
如图四，若a>0,>m时，则当x=n时，y有最大值an2+bn+c；
当x=m时，y有最小值am2+bm+c.
如图五，若a<0,n>时，则当x=n时，y有最大值an2+bn+c；
当x=m时，y有最小值am2+bm+c.
如图六，若a<0,>m时，则当x=n时，y有最小值an2+bn+c；
当x=m时，y有最大值am2+bm+c.
例3．如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD
的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB
的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，
HN⊥AD，垂足分别为M、N。
设HM=x，矩形AMHN的面积为y.
求y与x之间的函数关系式；
当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
解：(1)∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=，
∴CF//AG，BE=3.
∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE，

(2)
∴x=3在0<x<4之内,∴当x=3时,y有最大值,最大面积是12.
例4.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线l上，当点C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积