多元函数条件最值问题的求解策略.pdf

.
一
之二”,t.
1,t‘洲盆心声
例求函数八)二了、‘、.
【01y<
所以此时的反函数是不工
不之一1
0一
界一
行)、
一的反函数故所求的反函数为j()
2丈一1(,<0)

·
、z一
:二二::气+1李尸
分析由夕尸一1(妻0)可得二(二
一、2一
一‘一,,l(<u
了歹下1且夕少1所以此时的反函数是。=

:二一二一:;
了+l(多l);由y=2l可得一注:求分段函数的反函数只要分别求出其

,.
卫奇工且,<一1反函数即可

草
厂哑~一~~才伙
)一解题方法
,,)
玩,~、~~~~卜了

多元函数条件最值问题的求解策略

湖北省监利县新沟中学杨美璋

.
多元函数条件最值问题是近年来各级各类2运用判别式

,
竟赛和考试中的热点问题,由于此类问题往往构造一元二次方程再根据方程的判别式

.
、
涉及到函数、三角数列、平面几何等方面的知性质建立不等式求解

,、,
识其灵活性综合性较强本文就处理多元函【例2】(美国第七届中学生数学竞赛)已

、
,,,,一一二,
数条件最值问题的常用求解策略予以归纳总知ab:‘l。是满足a、乃十‘斗d价侣:,2
结,以达到开阔解题思路、培养灵活运用知识进十扩十。2十护+召2二16的实数,试确定‘的最

.
.
行分析解决问题的能力大值

一
:二一、:一十‘
l运用消元法解令f()二(二十)2+(川2卜+

,一
依据题设条件消去部分变量将问题转化:)2。(:、d)2

.一、
为一元函数的最值问题=4二2十2(a,石十。十d)二、aZ+尸*2伙厂

,,:、
【例l]已知一,任尺满足3不2十:厂-二4二2+2(8一。、:十16一或2

‘一.·
了,之,一
2求2,十刃2最大值则了(动的二次项系数为正:且厂吸)乡()

‘
、一
解:由3厂+2二2:2二2沈3,2
少得少一可知

一
则。=4(8一。)2一4火4(16一尸2)蕊0解之得介冬。

一
2+/“2一
(1,·
2厂+少二乡一古)合簇曾即的最大值为曾
一.

.
·
’,,。/
:少异。今一()<3换元法
{错,,
了目以
奋勺一Q根据题的特点进行合理的变量代换
一一32一l只
;2十一21一
⋯,
2的最大值为一,
犷改变问题结构达到解题目的

斗9
,,
【例3】已知二,。*且满足‘十厂丁几2拓
空产
气、
勺39

·
一5。=l一,i=1一si了a
,.当且当11矛nZ月nZ即
丈25+仅
=1求尹少的最值
=夕=y时取等号
_
二一二_
,业二刃三丈。s。。s,
函.有,最大值为
声明:nCOS
,25
,警
二+二,
令x430ysino则a
0[例6](1999年全国高考题)若正数b
xZ+夕2=+s2+s
(43cos)25in20a十十,
满足ab=b3则ab的取值范围是多少?
,,,。、2,二n
_:aa+++
=一s一鱼‘+解由乙=占3妻2了石石3得
‘1”6(、co“‘s号)/“50”
~4,
一+
’__310
。。、。。,2.、___‘n___。(丫石石)(护丽))
_,乙乙2_,灾__
=3x+y==一
o-50’夕,
即一当号’、)了--当-
”“‘(一护二:十1>0
叫~cos4~一一一一丫石石
,
i(xZ+夕2)min=1⋯丫石石)3即ab》9故ab的取值范围
、+,,
xyx+y二,
【例4】已知任R且1求为「9co)

.
.,
工+工的最小值5运用几何法构造几何模型
y通过数与形的对应,把代数问题转化为几
,
,,.
:11
x=,、嘴
解令不丁十ty=一t气一下丁吸t叹何问题直观的借助几何图形来求解
‘百乙
【例7】(首届大学生数学夏令营试题)证

青、.,_._.
)2厂不二下1_、2n//厉
‘‘旦‘*,
明(u一v)+(丫Z一u一一少U久u又V乙v
.仕
。.:11111刀
只叨-t=十>08,
一一111Z上的最小值为
Xy~一t
二万十t万一t
乙乙4~,一2
——证明:(。一v)2+(了厄二舀碑旦)可以看作点
一21一2l⋯。、才,、
<<,·
告尸,(“洲厄二瓜厄)到点尸2(。)的距离的平方
)4(产=0时取等号)号
匕u,1uZ+vZ
1一tZ如图1在平面ov内尸满足=2
4
(o<u<,尸:满足uv=9v>o
即工十工的最小值为4涯)()
,尸1,尸:,
Xy显然当在第一象限的角平分线上时
.
4,,
运用基本不等式Pl在MP:在N点时}PIP:!最小
许多多元函数条件最值问题通过恰当变换,,,一2
易得M(11)N(33)所求最小值为(31)
,
或直接运用基本不等式可求得最值或者用基
+(3一1)2=8
本不等式构造相关的不等式,由不等式可求得

.
最值
[例5]已知sinZ。+sinZ月+sinZ)=l(a
,
月y为