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专题一：函数的性质与图象
【要点梳理】
1.增函数和减函数定义：如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.
3．判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.
（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
（4）导数法:若当时，，则在上递增；若当时，，则在上递减.
（5）利用函数图象判断函数单调性.
（6）复合函数的单调性判断：如果和单调性相同，那么是增函数；如果和单调性相反，那么是减函数.
4．熟记以下几个结论:
(1)与的单调性相同；
（2）与的单调性相反；
（3）与的单调性相反.
5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0；如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.
7.奇偶函数的性质:
(1)奇偶函数定义域关于原点对称.
(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
8.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
(2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.
9.周期函数的定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称为周期函数，其中T称为的周期.若T中存在一个最小的正数,则称它为的最小正周期.
10.图象变换:
(1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减
的图象向左平移个单位得到函数的图象;
的图象向右平移个单位得到函数的图象;
的图象向上(下)平移个单位得到函数的图象.
(2)对称变换:
与的图象关于轴对称;
与的图象关于轴对称;
与的图象关于原点对称;
(3)翻折变换：
①的图象：先画出的图象，然后保留x轴上方部分，并把x轴下方部分翻折到x轴的上方即可.
②的图象：先画出的图象，然后保留y轴右侧部分，并把y轴右侧部分翻折到y轴的左侧即可.
【巩固练习】
1.函数y=x2㏑x的单调递减区间为（D）
（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）
变式：函数的单调递减区间为.
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(B)
A.y=cos2x，xRB.y=log2|x|，xR且x≠0
C.，xRD.y=+1，xR
3．已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则(D)
A.B.
C.D.
变式：已知定义在上函数是奇函数，对都有，则(D)
A.2B.-2C.4D.0
4.对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是①②．（将你认为正确的命题序号都填上）
变式：若函数的单调递增区间是，则=___-6_____.
5.函数的图象如右图所示，下列说法正确的是(C)
①函数满足
②函数满足
③函数满足[来源:学|科|网Z|X|X|K]
④函数满足
A.①③ B.②④ C.①② D.③④[来源:Z,xx,k.Com]
变式：为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
6.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x，则函数的零点个数是(C)
(A)0个(B)2个(C)4个(D)6个
变式：设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为(B)
A.2B.4C.5D.8
7.对实数和,定义运算“”:=,设函数,.若函数的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是(B)
A.B.
C.D.
变式1：已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点2.
变式2：已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是（0，1）（1，2）.
8.