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一道课本例题的再思考
湖北保康一中郭嗣明（邮编441600）
人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1有这样一道例题：
过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
（证明见教材）

图1
通过类比联想，可得到题1：
题1，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点B和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，求证：直线AC平行于抛物线的对称轴.
通过构造逆命题可得到题2：
题2，设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且AC平行于x轴，求证：直线BC经过坐标原点。类似地，若点D也在抛物线的准线上，且BD平行于x轴，试问直线AD经过坐标原点吗？并证明你的结论。
在题2的基础上，我们可以给出下列题组：设，
题3:，求证：
题4，若=1，,求的长
题5，若，，求的长
题6，若A是抛物线上的一动点，与x轴正方向的夹角为，求的长
题7，若，，则这样的直线AB有多少条？
题8，求证：
题9，求证：,若，，你能发现m,n之间的关系吗？
题10，若直线AB的倾斜角为，则
题11，AB的中点E到准线的距离EH的长时多少？试问以AB为直径的圆与准线有何位置关系？并证明你的结论。这个结论相应于椭圆、双曲线又如何？若HE与抛物线交于点S,那么S是HE的中点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由。
通过变更条件，我们还可以得到以下问题：（如图2）

题12，连接CF,DF，求证：
题13，以CD为直径的圆于AB相切吗？试证明你的结论。
题14，若,求抛物线的方程，并求线段AB的中点到准线的距离。
题15，若直线AB的倾斜角为，且，求抛物线的方程。
题16，若AB是通经，过抛物线上另一点P且垂直于轴的直线与轴交与点Q，求证：是和的比例中项。
题17，已知抛物线C：的焦点F，过K(-1,0)的直线与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D
求证：点F在直线BD上；
设,求的内切圆M的方程。
题18，过抛物线的对称轴上一点A(a,0)（a>0）的直线与抛物线交于M,N两点，自点M,N两点向直线：x=-a作垂线，垂足分别为,
当a=时，求证：;
记,,的面积分别为,,,问是否存在实数，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

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