微分动态模型.doc

第二部分动力系统模型
第四章动力系统的解的定性分析
4.1连续动力系统的解的定性分析
例4.1设森林中生长着硬树木H(吨)>0及软树木S(吨)>0，假定树木量的年增长量（吨/英亩/年）为dH/dt=(r1-a1*H-b1*S)*H,dS/dt=(r2-a2*S-b2*H)*S,其中r1，r2>0分别是硬木及软木的内禀增长率，r1-a1*H-b1*S是硬木的实际增长率，0<a1*H<<r1体现了环境资源对硬木增长率的影响,b1*S>0体现了软木对硬木增长的影响.对于软木的情况也有对应的说明.
解:首先来求出平衡点，即硬木和软木量与时间无关的解(H,S)，显然(H,S)=(0,0)是解(零解)，但这不是我们感兴趣的定常解，不予考虑，同样，还有两个定常解(H,S)=(0,r2/a2),(H,S)=(r1/a1,0),由于只有一种树木存在，也不予考虑.我们看是否有两种树种都存在的定常解(H=(r1*a2-r2*b1)/(a1*a2-b1*b2),S=(r2*a1-r1*b2)/(a1*a2-b1*b2));假设种群内部的竞争比种群之间的竞争强，则a1>b1,a2>b2,从而a1*a2-b1*b2>0;所以两种树木共存的条件是r1*a2-r2*b1>0;r2*a1-r1*b2>0;即a1/b2>r1/r2>b1/a2;
以下我们要讨论的是，一般情况下两种树种的量是否会趋于这个共存的平衡点.用动力系统的语言来讲就是这个定常解是否是全局吸引的.
首先来证明这方程的解的正半轨最终将位于一个有界的闭域：0<=H<=2*r1/a1;0<=S<=2*r2/a2;这是因为当H>=2*r1/a1时，dH/dt<=-r1*H，而当S>=2*r2/a2时,dS/dt<=-r2*S.因此终究会位于该闭域内.因此任何轨道的极限集存在并有界，二维动力系统的有界的极限集是极限环或是平衡点与连接平衡点的非闭轨.
首先来看在这平衡点附近微分方程的线性部分，在平衡点方向场的Jacobi为
[-a1*H，-b1*H;-b2*S,-a2*S];特征方程为x^2+(a1*H+a2*S)*x+(a1*a2-b1*b2)*H*S=0;
根据Hurwitz定理，特征值都具有负的实部，所以平衡点是渐近稳定的，即平衡点至少是局部吸引的，但是否是全局吸引的还需进一步研究。这时，我们还要考察其他平衡点的吸引性.在零解附近，方向场的Jacobi为[r1,0;0,r2],故零解是反向吸引的，因此非零解不会趋于零解,对于定常解(H,S)=(0,r2/a2)，Jacobi为[r1-b1*S,0;-b2*S,r2-2*a2*S]=[r1-b1*r2/a2,0;-b2*r2/a2,-r2];特征方程为x^2+(r2-r1+b1*r2/a2)*x-r1*r2+b1*r2^2/a2=0;特征值为(r1*a2-r2*b1)/a2,-r2,故平衡点(H,S)=(0,r2/a2)是鞍点；现在的问题是对于一般的共存解(H,S),是否会趋于这个鞍点呢？在S轴上有两条轨道，0<S<r2/a2,r2/a2<S,在这两条轨道上的点是渐近地趋于这个鞍点的，而其他点均是最终离开这个鞍点的，所以一般的共存解(H,S)是不会趋于这个鞍点的.
类似地，对于平衡点(H,S)=(r1/a1,0),Jacobi为[-r1,-b1*H;0,r2-b2*H]=[-r1,-b1*r1/a1;0,r2-b2*r1/a1];特征方程为x^2+(r1-r2+b2*r1/a1)*x-r2*r1+b2*r1^2/a1=0;特征值为(r2*a1-r1*b2)/a1,-r1,故平衡点(H,S)=(r1/a1,0)也是鞍点.类似地分析H轴上的轨道，可见一般的共存解(H,S)也不会趋于这个鞍点(r1/a1,0).
我们还要考虑一般的共存解(H,S)是否会趋向一个极限环.如果存在极限环，则极限环必然将共存的平衡点包围在其中，考虑三条直线:S轴、r1-a1*H-b1*S=0、r2-a2*S-b2*H=0包围的三角形区域，我们来看这三角形区域的边界上方向场的方向，在S轴上的一段，(r1/b1>=S>=r2/a2),dH/dt=0,dS/dt=(r2-a2*S)*S<=0,,在r1-a1*H-b1*S=0,上的一段，(0<=H<=(r1*a2-r2*b1)/(a1*a2-b1*b2),dH/dt=0,
dS/dt=(r2-a2*S-b2*H)*S=(r2-2*(r1-a1*H)/b1-b2*H)*S=-((r1*a2-r2*b1)-(a1*a2-b1*b2)*H)/b1*S<=0,在r2-a2*S-b2*H=0上的一段(0<=H<=(r1*a2-r2*b1)/(a1*a2-b1*b2)，dS/dt=0,dH/dt=(r1-a1