数形结合思想在函数问题中的应用（高三）.doc

数形结合思想在函数问题中的应用（高三）
教学目标：1、知识目标
1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质．
2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．
2、能力目标
1）掌握用初等函数的图像来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识．掌握运用图像将代数问题转化为几何问题的技巧．
2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法．
3、情感目标
通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．
教学重点：利用基本初等函数的图像将函数问题转化为几何问题．（以形助数）
教学难点：利用图像转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路．
教学方法：启发式教学．
教具：利用多媒体辅助教学，使学生更容易从直观上理解“数”和“形”之间的关系。
教学过程
新课引入
复习高中所学的几种基本初等函数的图像．
y

1
1

x
1
O
y
x
y
O
O
x
y
O
x

提问：上述四个函数图像分别对应于四个函数y=x2,y=2x,y=0.5x,
y=log2x中的哪一个?
说明上述四种函数及图像代表了几类常用函数的基本图像．
强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图像上的体现，比如特殊的点、线（对称轴、渐进线）。
几种常见的图象变换（提问）
平移变换、伸缩变换、对称变换．
说明函数图像的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性质（奇偶性、单调性和周期性等）．许多函数问题大多可以从函数的图象中得到直观地解释或形象地提示解决问题的方法．
基础训练题组
函数的反函数的图像不经过第______象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
分析：正确作出函数的图像是本题的关键所在．由于它不是基本初等函数，其图像需要由初等函数的图像作适当的变换得到．（提问学生：如何作出图像？本题有2种变换方法，可启发学生思考．）
方法一：先求出反函数，再作其图像．

y
作关于直线
y=x对称
向左平移
1个单位
O
y
y
–1
–1
O
–1
x
x
x
O
1

方法二：利用函数图像和其反函数图形之间的对称关系作图．
的反函数为。
y
O
x
y

x
O

向下平移
1个单位

-1

从中观察出：函数图像不经过第二象限．选B.
解题回顾：本题的关键是正确作出图像，要注意常用的图象变换方法．
结论：运用数形结合方法可确定图像趋向．
已知方程|x2–4x+3|=m有4个根，则实数m的取值范围是______．
分析：此题并不涉及方程根的具体值，只是根的个数，而求方程的根的问题可以转化为求两条曲线的交点．故利用函数图像是解本题的一种简便方法．借助于多媒体，学生可以很直观地求得．0<m<1.
y=m
y=|x2–4x+3|
x
O
y

解题回顾：

(1)本题给出问题的结论，去探求满足结论所需的条件．旨在深化能力立意，从不同角度考察学生的探索、反驳、否定能力，培养学生的创新意识．
(2)数形结合可用于解方程准确合理地作出满足题意的图形是使用数形结合的前提．
(3)变换题：将题中的4个根改成3个、2个、1个根、无实根，分别求出m的取值范围．
y
O
由函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，
y=2
这个封闭图形的面积是_______．
分析：本题不能直接求解（高中
阶段没有此类图形的面积公式），初看
x
好像是偏题、怪题，但如果借助于图形
的对称性并利用割补法，则可将之转化
为一个等积矩形的面积问题．学生可直接看出答案。
解题回顾：本题利用了数形结合方法计算面积．结论：图像的对称性可以使棘手的问题简单化，转化为常规的问题，体现了数学中把未知转化为已知的思想方法．

设x1为方程2x=4–x的根，x2为方程log2x=4–x的根，则x1+x2=________．
分析：本题等式两边为不同类型的函数组成的超越方程，直接求出x1，x2是
很难的（对高中学生来说是解不出的）．是否就没办法呢？再次审题，注意到两个方程左边的两个函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称，这时可启发学生用图像的对称性来求解．
y=x
y
y=2x
y=log2x
构造函数y=f(x)=4–x，
y=f1(x)=2x，y=f2(x)=log2x，
将x1，x2分别看作函数f(x)与
A
f1(x)、f2(x)的交点，再利用对称
C(2,2)
性求解．
B
y=4–x
解得C(2，2).
y=x
x1x2
O
x
所以x1+x2=4．
解题回顾：
（1）本题运用了图像