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数形结合思想在函数解题中的应用研究

数学学院数学与应用数学（师范）专业2009级陈欢
指导老师胡春燕

摘要：数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，是数学解题中常用的思想方法之一。论文结合初等数学教材的实际情况，阐述了数形结合思想在中学数学中的重要性；并且通过大量的实例对形结合思想在解函数题中的应用进行了研究与分析。
关键词：数形结合；函数；应用
Abstract:Thethoughtofsymbolic-graphiccombinationistheideawhichsolvesmathematicproblemsaccordingtothecorrespondencebetweensymbolicandgraphicandthemutualtransformationofsymbolicandgraphic.Itisoneofthecommonwaystosolvemathematicalproblems.Combiningwiththeactualsituationofelementarymathematicsteachingmaterial,thethesisexpoundedtheimportanceofthethoughtofsymbolic-graphicinsecondaryschoolmathematics,anditanalyzedtheapplicationofsymbolic-graphiccombiningideainsolvingfunctionproblemthroughanumberofexamples.
Keywords:thenumberformcombining;function;application

１数形结合思想的基本介绍

数和形是数学研究客观问题的两个方面，数侧重研究物体的数量方面，具有精确性；而形侧重研究物体的形状方面，具有直观性。数形结合思想就是把两者充分地结合起来，即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合起来，换言之即，用数来反映空间形式，用形来说明数量关系，这样可使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合思想是解析法、三角法、复数法、向量法、图解法等一系列方法的概括，其思维策略是把形与数这两个数学研究的基本对象联系起来作综合考察，充分发挥代数与几何等学科理论各自的优势来解决问题，把这一类方法的基本精神概括上升，就形成了数形结合的思想数形结合思想，通俗的说，就是代数与几何相结合的思想。它是一种通过沟通“数”与“形”的某些因素发挥“数”与“形”的优点，实现“数”与“形”的和谐统一，从而解决数学问题的思想［１］。

2数形结合思想在初等数学中的地位与作用

所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合是一种极具数学特点的信息转换，一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实；另一方面又用图形的性质来说明数量的抽象性质。因此，数形结合是一类极为重要的转化，其着眼点在代数与几何的沟通上。
2.1数形结合思想在初等数学中的地位
数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础，而数与形的结合贯穿于数学发展的进程中，是数学发展中的两大基石。数形结合方法是中学数学中重要基本思想方法之一，是数学的本质特征［2］。数形结合，是求解数学问题的一种常用思维方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简洁。数形结合的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.2数形结合思想在初等数学中的实现
所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合是一种极具数学特点的信息转换，一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实；另一方面又用图形的性质来说明数量的抽象性质。因此，数形结合是一类极为重要的转化。而数形结合的实现通常与以下内容有关［3］：
①实数与数轴上的点的对应关系；
②曲线与方程的对应关系；
③函数与图像的对应关系；
④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数等；
⑤所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义。
2.3数形结合思想在初等数学中的作用
数形结合的思想方法应用广泛，常见的比如在解方程和不等式问题中，在求解三角函数问题中，在求函数的定义域、值域等问题中数形结合思想都具有极其重要的作用。运用数形结合思想，不仅直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大的简化了解题过程，尤其在解