矩阵理论在细分方法中的应用.doc

附录矩阵理论在细分方法中的应用

线性代数理论对计算技术的提高具有非凡的指导意义．本章仅就几何造型细分方法中矩阵与特征值的应用做浅显的介绍．
设给定８个初始控制顶点，将它们按序连接成如图1（ａ）所示的初始闭凸八边形，接下来的目的是要生成与初始闭凸八边形形状尺度相近的光滑闭曲线，这其中矩阵乘积起到至关重要的作用．
１．细分算法
将初始控制多边形定义为第０层，即，将一定的细分规则作用于初始控制多边形上，产生第１层控制顶点，此时的控制顶点数一般是第０层控制顶点数的２倍，按照一定的连接规则连接这些控制顶点形成第１层控制多边形；如此循环下去，生成第层控制顶点．．．．．．直到生成光滑曲线．
这个问题的关键是细分规则的确立，它必须保证生成光滑的极限曲线．下面先给出Chaikin细分算法以及由它产生的光滑曲线效果图．
这是Chaikin于1974给出的细分方法，其极限为均匀二次B样条曲线．其细分规则为
(１)
即第层的顶点由第层顶点按如下规则生成．
对于图1这个闭凸八边形来说，第1层顶点是按如下公式产生的，即
．．．．．．，

再按序连接第１层控制顶点．再将细分规则（１）用于第１层顶点进而产生第２层顶点．．．．．．
如此下去就可生成光滑曲线．实际操作时根据效果要求确定细分次数．图１（ｂ）分别为初始凸八边形以及它经过Chaikin细分3次后的效果图．

图１（ａ）初始凸八边形，（ｂ）初始凸八边形以及经过Chaikin细分3
次后的效果图

为了使光滑曲线能在尺度上与初始控制多边形更加贴近，作者给出改进的细分规则，其第i+1层控制顶点是由第i层控制顶点按照如下规则产生的
（2）
图２是细分效果图．

(a) (b)

图２(a)、(b)分别为初始凸八边形经过细分公式（２）细分1次和3次后的效果图（w=1/16）．

在细分过程中，一直使用的就是矩阵乘积．Chaikin细分公式即公式（１）本质上是如下的运算关系
（３）
公式（３）有序、不断地作用于控制顶点，使新产生的控制顶点按序连接、并不断加密，从而生成光滑曲线．
同理，作者给出的细分公式（２）本质上是如下公式
．（４）
即新控制顶点是旧控制顶点的线性组合，也是细分系数矩阵与旧顶点矩阵之积．这些公式反映了细分的本质．
２．收敛性分析
从上面例子可知，细分系数矩阵是细分方法的核心，不同型的细分系数矩阵以及不同的结构关系就导致不同的细分方法．那么满足何种条件才能产生光滑曲线呢？
下面再给出一种细分方法--立方B样条细分方法，并以此为例进行收敛性分析．
立方B样条细分方法控制顶点的定义与连接顺序与前面类似，细分规则如下
(５)
现在用矩阵表示变换关系
，(６)
记
，

对应的特征值为，按序记为，设的线性无关的实特征向量，则
，(７)
其中，，，则有
即，．
任给长度为５的向量将其写成特征向量的线性组合
x．
如果的元素是二维点或三维点，则相应的也是二维点或三维点．由线性性质，有
xx=x．
应用乘j次，有:
x(８)
注意特征值的排序为，则收敛到的极限位置可以直接计算
x．
用去除(８)式的两端，令，得
xx．（９）．
当时，对应的控制点向量占主导位置，即极限点沿着向量排列，这是曲线中心点的切向量．如果，则当时，由(９)可知，极限将为、的线性组合，在中心点无切向量，因此导致切向量存在的必要条件为细分矩阵的所有特征值除外均应小于．这样就证明了该细分模式的收敛性．
在上述分析中，本质上通过矩阵乘幂来探讨收敛性，如公式（８）给出细分第j层控制顶点与第０层顶点之间的关系．细分收敛的断定是由细分矩阵的特征值确定的，即外其余特征值均应小于，事实上，特征值的大小在一定程度上决定了细分的效果．
事实上，矩阵理论在细分方法中起着本质作用，而细分方法在三维几何造型以及三维动漫设计有着广阔的拓展空间．下面是Chaikin细分方法推广到曲面后的三维细分效果图，从中可以看到到矩阵理论的重要作用．

图３从左上至左下为初始多面体以及细分１次、３次效果图，右下为去掉网格后的细分效果图．