矩阵的特征值和特征向量.doc

矩阵的特征值和特征向量
一、方阵的特征值与特征向量
定义1设是阶方阵，若存在数和维非零向量使关系式
（1）
成立，则称这样的数为方阵A的特征值；非零向量称为A的对应于特征值的特征向量．
将（1）式改写成
，（2）
得到一个含个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式

即

这个以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程，其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式，显然，的特征值就是特征方程的根；在复数范围内，阶方阵有个特征值。
从定义1不难看出，若非零列向量是方阵的对应于特征值的特征向量，则（为常数）也是的对应于的特征向量，即对应于一个特征值有无穷多个特征向量。反之，不同的特征值所对应的特征向量不相等，即一个特征向量只能属于一个特征值。
由上面的讨论得到方阵的特征值与特征向量的求法：
1）写出方阵的特征方程，它的根就是的全部特征值。
2）对每个特征值，齐次线性方程组（2）的每一个非零解都是的对应于的特征向量，只要求出（2）的一个基础解系，它们的线性组合（为非零向量时）就是的对应于的全部的特征向量。
例1求的特征值和特征向量
解因为A的特征多项式为

解特征方程，得A的特征值为。
当时，对应的特征向量满足
即
求得该方程组的基础解系为
，
故是对应于的全部特征向量．
当时，求得方程组

的基础解系

所以对应于的全部特征向量为。
例2求矩阵

的特征值和特征向量．
解先写出特征多项式，尽量化为因式积的形式

A的特征值为．
当时，解方程，由

得基础解系

故对应于的全部特征向量为。
当时，解方程组，由

得基础解系

故对应于的全部特征向量为．
二、特征值与特征向量的性质
由一元次方程根与系数的关系，可以得到
定理1若阶方阵A的特征值为，则
1）
2）
（证明略）
利用此定理给出的A的迹与其特征值的关系式，常常可以帮助我们求矩阵的特征值。
例如，若已知矩阵的特征值，则A的第三个特征值应满足

故
定理2若向量分别是方阵A的对应于不同特征值的特征向量，则线性无关。
证若线性相关，则有数使得，即也是A的对应于的特征向量，与已知条件矛盾，所以，线性无关。
一般地，如果是矩阵A的不同特征值，而是A的属于的线性无关的特征向量，则向量组也线性无关。