【高考数学 核心突破 概率统计】计数原理、概率、统计与统计案例.pdf

第1讲计数原理

[考情考向分析]1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.

二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，
值得关注．

热点一两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需

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要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．

例1(1)(2018·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，
主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历
史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连
排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课
程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()

A．120种B．156种

C．188种D．240种

答案A

解析当“数”排在第一节时有2·4＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有1·2·3＝
A2A4A3A2A3

36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有2·3
A2A3

＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有1·2·3＝24(种)排法，所以满足
A2A2A3
条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．

(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例
如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24
＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为()

A．9B．10C．11D．12

答案D

解析根据题意个位数需要满足要求：

n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，

∴个位数可取0,1,2三个数，

∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，

∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．

思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步

精品文档2
当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

跟踪演练1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每
人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金
额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()

A．18种B．24种

C．36种D．48种

答案C

解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，

有22＝12(种)抢法；
A2A3

若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有

22＝12(种)抢法；
A2A3

若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有

22＝6(种)抢法；
A2C3

若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有2＝6(种)抢法．
A3

根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．

(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所
示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，
同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有
()

1234

A.9种B．18种

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C．12种D．36种

答案B

解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，
所以共有3×2＝6(种)种植方式；

若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．

热点二排列与组合

名称排列组合

相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复

①排列与顺序有关；②两个排①组合与顺序无关；②两个组
不同点列相同，当且仅当这两个排列合相同，当且仅当这两个组合
的元素及其排列顺序完全相同的元素完全相同

例2(1)(2018·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)将7个座位连成一排，安
排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有()

A．240种B．480种

C．720种D．960种

答案B

解析12或67为空位时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空位时，第