最值求法及应用 (4).doc

高考数学题中最大值、最小值的求法及应用

高考数学题中求最大值和最小值问题是经常出现的，分析其解法并归类总结有助于迅速地解答考题。
三角函数类求最大值和最小值问题及应用，其方法是将三角函数的代数和化为一个三角函数讨论，即
。
例1、当函数（）取得最大值时，。
解答：，或
，
例2、在中,已知内角,边,设内角,周长为,(1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值
解:(1),，
由正弦定理，

当,即时取得最大值,最大值为.
例3、为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位
解：考虑取最大值时，令则，又令则，向右平移，选(B)
例4、函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则
解：令，，,(考虑取最大值)
又令，（向右平移）
，，。*
例5、设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（C）
（A）（B）3（C）6（D）9
解答：考虑的最大值，，，又向右平移，则，，，，，故选C。
例6、若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（B）
（A）1 （B） （C） （D）2
解答：=，当时取最大值.即，故选（B）。
例7、的内角的对边分别为，已知
（1）求；（2）若，求面积的最大值。
(1)解法1：由已知及正弦定理 得 ① ………2分
又
由两角和公式可得： ②………4分
由①，②两式可得 ………6分
A
B
C
c
b
a

*解法2：由题意得：
① ①
又由三角函数知识可知： ②………4分
由①，②两式可得：
………6分
（2）解：

………9分
又

时，的最大值为，
2、利用均值不等式，
“=”成立，等求最大、小值，并证明一类不等式。。
例1、的内角的对边分别为，已知
若，求面积的最大值。
解：由1的例5，解得，
的面积
由已知及余弦定理得：，
又
面积的最大值为。
例2、已知，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5
解：四边形面积

即求最大值
设，分别为，中点，则有
，，
则，

例3、设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值．
解：（1）过，的椭圆方程
直线方程，的方程
设
则，

由

（2）设到的距离为,
到的距离为，
或
四边形的面积为：

当等式成立，最大值为.
解法二：由四个三角面积之和

，
当时，即时，等式成立，最大值为.
例4、设均为正数，且，证明：
（1）；（2）
(1)证明：由 ………2分
由题设得即
所以， 即 ………5分
(2)证明1： ………7分

即 ………10分

证明2：
………7分

又

即 ………10分

例5、已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（），过、两点分别作抛物线的切线交于点.证明为定值，设，求其表达式及最小值。
证明：设，，，，
则过点的切线方程为，即（1）
过点的切线方程为，即（2）
联立方程（1）（2），得，，即
又，，即
则有，，因为，
解之得，，，从而
，
所以，
又由，再由抛物线的性质有：
，
，
故有：，即。
3、有一类求最大、小值问题往往是由特殊图形、特殊函数或特殊形式构成，若能大胆预测其形式，出奇制胜，会起到事半功倍的效果。
例1、设函数QUOTE
的最大值为，最小值为，则。
解：，由于QUOTE
为奇函数，关于原点对称，其最大、小值之和为，，则。
例2、已知，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5
解：设，分别为，中点
，
等式成立
则为正方形，（若能预测可简化计算）
，，
，
。
例3、的内角的对边分别为，已知，若，求面积的最大值。
解：由1的例5，解得底边边长固定，顶角固定的三角形面积最大时一定是等腰三角形，由，

例4、在中，已知，则
解：设，则：，即
当时，
注意当时，是等腰三角形，底边上的中线即为底边上的高，时，，，，，，依此类推，并可推广到底边改变的情形。
例5、设向量、、满足，，，则的最大值等于（A）
（A）2（B）(C)(D)1
解答：由，，

方法一：由四点共圆，当，取最大值，最大值为2，此时AC为圆直径，可作图表示，故选（A）。
方法二：取夹角的平分线，及的夹角平分线，则四边形分为二个直角三角形，，可作图表示，故选（A）
例6、若变量满足约束条件，则的最小值