最值求法及应用.doc

高考数学题中最大值、最小值的求法及应用高考数学题中求最大值和最小值问题是经常出现的，分析其解法并归类总结有助于迅速地解答考题。三角函数类求最大值和最小值问题及应用，其方法是将三角函数的代数和化为一个三角函数讨论，即。例1、当函数（）取得最大值时，。解答：，或，例2、在中,已知内角,边,设内角,周长为,(1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值解:(1),，由正弦定理，当,即时取得最大值,最大值为.例3、为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位解：考虑取最大值时，令则，又令则，向右平移，选(B)例4、函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则解：令，，,(考虑取最大值)又令，（向右平移），，。*例5、设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（C）（A）（B）3（C）6（D）9解答：考虑的最大值，，，又向右平移，则，，，，，故选C。例6、若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（B）（A）1（B）（C）（D）2解答：=，当时取最大值.即，故选（B）。例7、的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，求面积的最大值。(1)解法1：由已知及正弦定理得①………2分又由两角和公式可得：②………4分由①，②两式可得………6分ABCcba*解法2：由题意得：①①又由三角函数知识可知：②………4分由①，②两式可得：………6分（2）解：………9分又时，的最大值为，2、利用均值不等式，“=”成立，等求最大、小值，并证明一类不等式。。例1、的内角的对边分别为，已知若，求面积的最大值。解：由1的例5，解得，的面积由已知及余弦定理得：，又面积的最大值为。例2、已知，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5解：四边形面积即求最大值设，分别为，中点，则有，，则，例3、设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值．解：（1）过，的椭圆方程直线方程，的方程设则，由（2）设到的距离为,到的距离为，或四边形的面积为：当等式成立，最大值为.解法二：由四个三角面积之和，当时，即时，等式成立，最大值为.例4、设均为正数，且，证明：（1）；（2）(1)证明：由………2分由题设得即所以，即………5分(2)证明1：………7分即………10分证明2：………7分又即………10分例5、已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（），过、两点分别作抛物线的切线交于点.证明为定值，设，求其表达式及最小值。证明：设，，，，则过点的切线方程为，即（1）过点的切线方程为，即（2）联立方程（1）（2），得，，即又，，即则有，，因为，解之得，，，从而，所以，又由，再由抛物线的性质有：，，故有：，即。3、有一类求最大、小值问题往往是由特殊图形、特殊函数或特殊形式构成，若能大胆预测其形式，出奇制胜，会起到事半功倍的效果。例1、设函数QUOTE
的最大值为，最小值为，则。解：，由于QUOTE
为奇函数，关于原点对称，其最大、小值之和为，，则。例2、已知，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5解：设，分别为，中点，等式成立则为正方形，（若能预测可简化计算），，，。例3、的内角的对边分别为，已知，若，求面积的最大值。解：由1的例5，解得底边边长固定，顶角固定的三角形面积最大时一定是等腰三角形，由，例4、在中，已知，则解：设，则：，即当时，注意当时，是等腰三角形，底边上的中线即为底边上的高，时，，，，，，依此类推，并可推广到底边改变的情形。例5、设向量、、满足，，，则的最大值等于（A）（A）2（B）(C)(D)1解答：由，，方法一：由四点共圆，当，取最大值，最大值为2，此时AC为圆直径，可作图表示，故选（A）。方法二：取夹角的平分线，及的夹角平分线，则四边形分为二个直角三角形，，可作图表示，故选（A）例6、若变量满足约束条件，则的最小值为(D)（A）-2（B）-4（C）-6（D）-8解：依题意，取最小值，取最大值，,,,.最小值点(-2,2)，选（D）或由图解法，考查可行域三个顶点（-2,-2）(2/3,2/3)及(-2,2),，最小值点（-2，2）选（D）例7、已知棱长为1的正方体中，点分别是上的动点，且，设与所成的角为，与所成的角为,则的最小值是（）。解：作，则令，，故，选。或用特殊值法，由已知的取值范围令，取即得。例8、已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为：，动点，参数，求（1）点轨迹的直角坐标方程，（2）点到直线的最大距离。解：（1）