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第六章线性空间和欧式空间
§1线性空间及其同构

一线性空间的定义
设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：
1）；交换律
2）；结合律
3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元
4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得（称为的负元素）.存在负元
数量乘法满足下面两条规则：
5）；存在1元
6）.数的结合律
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7）；数的分配律
8）.元的分配律
在以上规则中，表示数域中的任意数；等表示集合V中任意元素。
元素属于数域K的矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为。
全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
维向量空间是线性空间。
向量空间的线性映射的集合是线性空间。
二．简单性质
1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．，，。
4．若，则或者。
三.同构映射
定义：设是数域上的线性空间.是一个线性映射.如果是一一映射，则称是线性空间的同构映射，简称同构。线性空间与称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

§2线性子空间的和与直和

子空间的和：设是线性空间的子空间，则集合
也是一个线性子空间，称为的和，记为.
两个线性子空间的和是包含这两个线性子空间的最小子空间.
满足交换律、结合律

设与是V的两个向量组.则

线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。
定理：（维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么
+=+
由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数
推论：如果维线性空间中两个子空间的维数之和大于，那么必含有非零的公共向量。
直和：设是线性空间的子空间，如果中的每个向量都能被唯一地表示成.则称为直和，记为。
设是线性空间的子空间，则下列结论互相等价：

设是线性空间的一个子空间，那么一定存在的一个线性子空间，使得

满足上述条件的线性子空间称为的补子空间.
推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和

§3欧式空间

定义设是实数域上的有限维线性空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,满足以下四条公理:
1)对称性;
2)关于标量乘法线性性质;
3)关于向量加法的线性性质;
4)正定性,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1在线性空间中,对于向量
,
定义内积
(1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.
时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2在里,对于向量
,
定义内积

则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
.(2)
对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例4令是一切平方和收敛的实数列

所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
定义非负实数称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
(3)
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量

就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，通常称为把单位化.
(Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量有

而且等号成立当且仅当线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)
定义非零向量的夹角规定为

根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义如果向量的内积为零，即

那么称为正交或互相垂直，记为.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.只有零向量才与自己正交.
勾股定理：当正交时，

推广：如果向量两两两正交，那么
.

称为基的度量矩阵.度量矩阵完全确定了内积.

标准欧式空间(其内积关于自然基的度量矩阵是n阶单位阵)
定义欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.